Переходные процессы в линейных электрических цепях

Изображение единичной функции:

Изображение постоянной величины E:

Изображение линейной функции:

Изображение экспоненты:

Изображения тригонометрических функций:

Изображение производной от функции f(t):

Изображение интеграла от функции f(t):

Операция дифференцирования оригинала заменяется операцией умножения на P изображения, а операция интегрирования оригинала заменяется операцией деления изображения на P.

4.3 Операторное сопротивление. Закон Ома в операторной форме

Рассмотрим вначале пассивные RLC-элементы и определим их операторные сопротивления.

Пусть через индуктивность при нулевых начальных условиях i(0)=0 протекает ток i(t), изображение которого I(P).

По закону электромагнитной индукции напряжение на индуктивности:

Умножим обе части этого равенства на множитель и выполним прямое преобразование Лапласа:

По теореме дифференцирования оригинала, при i(0)=0, получим:

Отсюда получаем выражение для операторного сопротивления индуктивности:

(4.3)

Рассмотрим теперь емкость C, которая при нулевых начальных условиях подключается к источнику напряжения UC(t), изображение которого UC(P).

Ток и напряжение на емкости связаны уравнением:

Применим к левой и правой частям этого выражения прямое преобразование Лапласа, в результате получим:

Отсюда находим операторное сопротивление емкости:

.

Рассмотрим теперь последовательный колебательный контур Рис.3.1, который при нулевых начальных условиях подключается к источнику , изображение которого E(P).

По второму закону Кирхгофа можем записать (3.17):

(4.5)

Применим к этому уравнению прямое преобразование Лапласа, в результате, с учетом (4.3) и (4.4), получим:

(4.6)

или

где - операторное сопротивление последовательного колебательного контура.

Формула (4.6) представляет собой закон Ома в операторной форме. Нетрудно заметить, что структура операторного и комплексного сопротивлений подобны по форме:

Для перехода от комплексного сопротивления к операторному достаточно заменить j* на P.

Сопротивление цепи в операторной форме есть новая более общая форма сопротивления, которая может применяться для решения задач, относящихся к любому режиму цепи при любой форме внешнего воздействия. Тогда как комплексное сопротивление применимо лишь при синусоидальном воздействии на цепь.

Наряду с операторным сопротивлением применяется операторная проводимость, которая, по определению, является величиной обратной сопротивлению.

4.4 Законы Кирхгофа в операторной форме

Первый закон Кирхгофа для мгновенных значений токов в узле электрической цепи:

Полагая, что каждый ток, входящий в узел или выходящий из него, имеет свое изображение Ik(P), получим первый закон Кирхгофа в операторной форме:

который формулируется так: алгебраическая сумма изображений токов в узле электрической цепи равна нулю.

Соответственно второй закон Кирхгофа для любого замкнутого контура

где ek(t), Uk(t) - мгновенные значения э.д.с. и напряжений на пассивных элементах данного замкнутого контура, записывается в операторной форме:

Естественно, что при составлении уравнений по законам Кирхгофа в операторной форме необходимо задаться положительными направлениями всех токов и э.д.с., а также соблюдать все правила при составлении уравнений по законам Кирхгофа для действительных функций времени.

4.5 Эквивалентные операторные схемы

Вышеприведенные формулы (4.7) и (4.8), выражающие законы Кирхгофа в операторной форме справедливы при нулевых начальных условиях:

iL(0)=0 и UC(0)=0.

Если до возникновения переходного процесса цепь обладала запасом энергии в виде электрического и магнитного полей, то, естественно, этот запас энергии необходимо учесть при составлении операторных уравнений. Надо ожидать, что законы Ома и Кирхгофа в этом случае изменяются в своей записи и примут более общую форму, из которой, как частный случай, должны вытекать формулы для нулевых начальных условий.

При ненулевых начальных условиях формула (4.3) принимает следующий вид:

где i(0) - ток через индуктивность в момент коммутации (t=0).

Этому операторному уравнению соответствует следующая эквивалентная операторная схема замещения (Рис.4.1)

а) в)

Рис. 4.1. Исходная а) и в) операторная схема замещения индуктивности: EL = L*i(0) - внутренний источник напряжения, направление которого совпадает с направлением тока.

При ненулевых начальных условиях уравнение (4.4) принимает вид:

где UC(0) - напряжение на емкости в момент коммутации.

Операторному уравнению (4.10) соответствует следующая эквивалентная операторная схема замещения (Рис.4.2):

Рис. 4.2. Исходная а) и в) эквивалентная операторная схема замещения емкости

- внутренний источник напряжения, направление которого противоположно направлению тока.

Расчет переходных процессов операторным методом сводится к выполнению следующих операций:

· вместо источников напряжений, оставшихся в цепи после коммутации, вводятся их операторные изображения e(t) E(P);

· вместо всех искомых токов и напряжений на пассивных элементах вводятся пока неизвестные их изображения:

· вместо индуктивности и емкости рисуются их операторные схемы замещения, как показано на Рис.4.1 и Рис.4.2; при этом комплексные сопротивления заменяются операторными, а при ненулевых начальных условиях в операторную схему замещения вводятся внутренние источники напряжений

Активное сопротивление остается без изменений.

Искомые изображения токов и напряжений могут быть определены любым известным методом расчета установившихся режимов (по законам Кирхгофа, методом контурных токов и др.).

Рассмотрим, для примера, электрическую схему Рис.4.3а, в которой до коммутации был установившийся режим. В момент коммутации t=0 происходит короткое замыкание резистора R1 и в цепи возникает переходной процесс.

Определим изображения токов в ветвях с индуктивностью и емкостью.

а) в)

Рис. 4.3. Исходная а) и ее операторная схема замещения в)

Операторный метод, как и классический, предусматривает, в первую очередь, определить независимые начальные условия.

В исходной схеме до коммутации был установившийся режим, при котором:

Для определения неизвестных изображений токов через индуктивность и емкость составим операторную схему замещения (рис.4.3 в), а затем составим два уравнения по второму закону Кирхгофа:

где

Отсюда определяем неизвестные изображения токов

(4.11)

4.6 Определение оригинала по известному изображению

Из вышеизложенного следует, что по законам Ома и Кирхгофа в операторной форме всегда можно найти изображения искомых токов и напряжений. После этого возникает обратная задача: по известному изображению тока или напряжения, например (4.11), найти соответствующий ему оригинал i(t), т.е. найти закон изменения тока или напряжения в функции времени.

Для нахождения оригинала пользуются готовыми таблицами, которые приводятся в учебниках и справочниках, где приводятся изображения и соответствующие им оригиналы.

Однако, в настоящее время расчет переходных процессов операторным методом можно выполнять с помощью программы Mathcad, которая позволяет производить прямое и обратное преобразование не прибегая в таблицам: laplace, invlaplace.

На нескольких примерах покажем, как производится расчет переходных процессов операторным методом в среде Mathcad.

4.6.1 Расчет переходных процессов в цепях первого порядка операторным методом

Пример 4.1. Рассчитать реакцию цепи RC (Рис.4.4) при воздействии на нее одиночного прямоугольного импульса.

Рис. 4.4. Одиночный прямоугольный импульс с напряжением E и длительностью T воздействует на цепь RC в момент t=0

Для описания единичной функции в среде Mathcad имеется встроенная функция Хевисайда, Ф(t) которая представляет собой источник постоянного напряжения в 1 В.

Одиночный прямоугольный импульс, изображенный на Рис.4.4, описывается так:

U1(t)=E*(Ф(t)-Ф(t-T)).

где Ф(t-T) - функция Хевисайда, смещенная по оси времени вправо на T.

Результаты расчетов переходных процессов в цепи RC, выполненные операторным методом в среде Mathcad, представлены на Рис.4.5.

Сравнение законов изменения напряжений на резисторе и емкости, полученные классическим методом Рис.2.2 и операторным методом Рис.4.5, показывает, что они совпадают.

Пример 4.2. Рассчитать реакцию цепи RC (Рис.4.4) при подключении ее к источнику синусоидального напряжения.

Результаты расчетов представлены на Рис.4.6.

Сравнение Рис.4.6 с рис.2.6 показывает, что они совпадают.

Пример 4.3. Рассчитать реакцию цепи RC (Рис.4.4), если входное напряжение представляет затухающую экспоненту.

Результаты расчетов представлены на Рис.4.7.

4.6.2 Расчет переходных процессов в цепях второго порядка операторным методом

Пример 4.4. Рассчитать переходные процессы в последовательном колебательном контуре (Рис.4.8) операторным методом при подключении его к источнику постоянного напряжения U1(t).

Рис. 4.8. Последовательный колебательный контур при нулевых начальных условиях подключается к источнику напряжения U1(t).

Реакция цепи (Рис.4.8) при подключении ее к источнику постоянного напряжения U1(t)=E представлена на Рис.4.9 и Рис.4.10 для критического и колебательного режимов соответственно.

Сравнение этих рисунков с результатами расчетов, выполненными классическим методом (Рис.3.3 и рис.3.4), показывает, что они совпадают.

Пример 4.5. Реакция цепи RLC (Рис.4.8) при воздействии одиночного прямоугольного импульса (опер ХЕВИСАЙД LRC) показана на Рис.4.11.

ЛИТЕРАТУРА

1. Атабеков Г.И. Основы теории цепей. Учебник для вузов. М., «Энергия», 1969 г. 424с. с ил.

2. Г.В. Зевеке Г.В., П.А. Ионкин, А.В. Нетушил, С.В. Страхов. Основы теории цепей. Учебник для вузов. Изд. 4-е, переработанное. М., «Энергия» 1975 г. 752с. с ил.

3. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи: Учебник для электротехн., энерг., приборостроит. спец. вузов.-8-е изд., перераб. и доп.-М.: Высш. шк., 1984.-559с., ил.

4. Нейман Л.Р., Демирчян К.С. Теоретические основы электротехники: В 2-х т. Учебник для вузов. Том 1.-3-е изд., перераб. и доп.-Л.: Энергоиздат. Ленингр. отд-ние, 1981.-536с., ил.

5. Дьяконов В. Д. Mathcad 2000: Учебный курс-СПб: Питер, 2000.-592с.: ил.

6. М. Херхагер, Х. Партоль Mathcad 2000 полное руководство: перевод с нем.-К.: Издательская группа BHV. 2000.-416с.

7.Карлащук В.И. Электронная лаборатория на IBM PC. Программа Electronics Workbench и ее применение. «Салон-Р», 2000.-506с.

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие к 3-ей части

Глава 1. Основные сведения о переходных процессах в линейных электрических цепях

1.1 Возникновение и общая характеристика переходных процессов

1.2 Начальные условия

1.3 Математические основы анализа переходных процессов

Глава 2. Переходные процессы в цепях первого порядка

2.1 Общий алгоритм расчета переходных процессов в цепях первого порядка классическим методом

2.2 Переходные процессы в цепях RC при подключении ее к источнику постоянного напряжения и коротком замыкании

2.3 Переходные процессы в цепях RC при подключении ее к источнику синусоидального напряжения

2.4 Переходные процессы в цепях RL при подключении ее к источнику постоянного напряжения и коротком замыкании

2.5 Подключение цепи RL к источнику синусоидального напряжения

2.6 Синтез цепи RC с заданными параметрами переходного процесса

Глава 3 Переходные процессы в цепях второго порядка

3.1 Общая характеристика переходных процессов в цепях второго порядка

3.2 Алгоритм расчета переходных процессов в цепях второго порядка

3.3 Переходные процессы в последовательном колебательном контуре при подключении его к источнику постоянного напряжения

3.3.1 Апериодический режим

3.3.2 Критический режим

3.3.3 Колебательный режим

Глава 4. Операторный метод расчета переходных процессов в линейных электрических цепях

4.1 Общие сведения

4.2 Изображения простейших функций

4.3 Операторное сопротивление. Закон Ома в операторной форме

4.4 Законы Кирхгофа в операторной форме

4.5 Эквивалентные операторные схемы

4.6 Определение оригинала по известному изображению

4.6.1 Расчет переходных процессов в цепях первого порядка операторным методом

4.6.2 Расчет переходных процессов в цепях второго порядка операторным методом

Литература

Страницы: 1, 2, 3, 4