Переходные процессы в линейных электрических цепях

Ниже приведен пример расчета переходных процессов в цепи RC по программе Mathcad (Рис.2.2), а также пример электронного моделирования работы этой цепи по программе Electronics Workbench (Рис.2.3 и Рис.2.4). Из этих рисунков видно, что результаты расчетов и результаты моделирования практически совпадают.

2.3 Переходные процессы в цепи RC при подключении ее к источнику синусоидального напряжения

Рассмотрим цепи RC Рис.1.1, которая при нулевых начальных условиях UC(0)=0 подключается к источнику синусоидального напряжения

Определим для этой цепи закон изменения напряжения на емкости UC(t) после коммутации, применив вышеприведенный алгоритм.

1. Независимые начальные условия UC(0)=0.

2. Зависимые начальные условия

На момент коммутации , получим

3. Амплитуда принужденной составляющей напряжения на емкости определяется по общему правилу расчета одноконтурных цепей.

Определим модуль входного сопротивления

и его аргумент

Определяем комплексную амплитуду тока в цепи в установившемся режиме

Определим комплексную амплитуду напряжения на емкости

Теперь можно записать принужденную составляющую напряжения на емкости

4.5. Характеристическое уравнение и его корень, а также свободная составляющая не зависят от вида входного напряжения и определяются по ранее приведенным формулам

5. Постоянная интегрирования:

6. Закон изменения напряжения на емкости принимает следующий вид:

Ниже приведен пример 2.2 расчета переходных процессов в цепи RC при подключении ее к источнику синусоидального напряжения при нулевых начальных условиях Рис.2.5. На Рис.2.6 приведены результаты электронного моделирования этой цепи при синусоидальном воздействии.

Из этих рисунков видно, что результаты расчетов по программе Mathcad (Рис.2.5) и результаты электронного моделирования по программе Elecrronics Workbench (Рис.2.6) практически совпадают.

В первый полупериод после коммутации напряжение на емкости в 1,7 раза больше принужденной составляющей, что необходимо учитывать при выборе пробивного напряжения на конденсаторе.

2.4 Переходные процессы в цепи RL при подключении ее к источнику постоянного напряжения и коротком замыкании

Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из последовательно соединенных RL элементов Рис.2.7.

Рис. 2.7. Цепь RL в момент t=0 при нулевых начальных условиях i(0)=0 подключается к источнику постоянного напряжения; в момент ключ размыкается, а ключ замыкается.

Определим законы изменения напряжений на резисторе и индуктивности после первой коммутации и после второй.

Вначале определим U2(t) , UL(t) после первой коммутации: K1 - замкнут, K2 - разомкнут.

1. Независимые начальные условия

2. Зависимые начальные условия

На момент первой коммутации имеем

Отсюда следует, что индуктивность в момент коммутации представляет собой разрыв цепи. До коммутации напряжение на индуктивности было равно нулю, а в момент коммутации оно скачком принимает значение, равное входному напряжению.

3. Принужденные составляющие.

В установившемся режиме в цепи будет протекать постоянный ток, при котором индуктивное сопротивление равно нулю и поэтому

4. Характеристическое уравнение и его корень

где - постоянная времени цепи RL.

5. Свободные составляющие

6. Постоянные интегрирования

7. Законы изменения напряжений на индуктивности и резисторе после первой коммутации:

Переходные процессы в цепи RL при коротком замыкании (после второй коммутации).

Переходные процессы в цепи RL Рис.2.7 происходят при ненулевых начальных условиях.

1. Независимые начальные условия на момент t1>0:

2. Зависимые начальные условия

3. Принужденные составляющие.

В цепи после второй коммутации нет источников напряжения, поэтому

4. Характеристическое уравнение и его корень после второй коммутации такие же, как после первой:

5. Свободные составляющие

6. Постоянные интегрирования

7. Законы изменения напряжений на индуктивности и резисторе после второй коммутации:

Ниже приведен пример расчета переходных процессов в цепи RL, выполненный по программе Mathcad (Рис.2.8), а также результат электронного моделирования переходных процессов (Рис.2.9), который получен по программе Electronics Workbench (EWB). Из анализа Рис.2.8 и Рис.2.9 видно, что кривые U2(t) и UL(t) первого рисунка практически совпадают с одноименными кривыми второго рисунка.

2.5 Подключение цепи RL к источнику синусоидального напряжения

Пусть цепь RL Рис. 2.7. при нулевых начальных условиях подключается к источнику синусоидального напряжения с начальной фазой не равной нулю:

Определим закон изменения тока в цепи после коммутации.

1. Независимые начальные условия i(0)=0.

2. Зависимые начальные условия

На момент коммутации t=0 имеем

Отсюда получаем:

3. Принужденная составляющая тока в цепи:

где

Отсюда амплитуда принужденной составляющей тока

Мгновенное значение принужденной составляющей тока

4.5. Характеристическое уравнение и его корень, а также свободная составляющая тока не зависят от вида входного напряжения и определяются по ранее приведенным формулам:

6. Постоянная интегрирования

7. Закон изменения тока в цепи RL при подключении ее к источнику синусоидального напряжения

Ниже приведен пример 2.4 расчета переходных процессов в цепи RL при подключении ее к источнику синусоидального напряжения.

Из приведенных формул видно, что при подключении цепи RL к источнику синусоидального напряжения ток в переходном режиме содержит две составляющие: синусоиду и экспоненту и его значение, в первый момент после коммутации, зависит от фазы включения.

Если включение произошло в момент, когда =, то свободная составляющая будет отсутствовать и в цепи сразу будет установившийся режим (удачное включение). Наоборот, неудачное включение имеет место, когда начальная фаза входного напряжения будет = 90.

Если при этом постоянная времени велика, то в начальный момент после коммутации ток переходного режима может достигнуть почти удвоенной амплитуды принужденной составляющей, что наглядно показано на Рис.2.10, где ток переходного режима в 1,66 раза больше амплитуды принужденной составляющей.

2.6 Синтез цепи RC с заданными параметрами переходного процесса

Выше рассматривались переходные процессы при заданных параметрах RC-элементов.

На практике возникает необходимость в решении обратной задачи: рассчитать потребные значения RC-элементов, при которых обеспечивалась бы заданная длительность переходного процесса и заданное значение выходного напряжения, снимаемого с резистора.

Рассмотрим электрическую цепь, изображенную на Рис.2.11.

Рис. 2.11. Исходная схема для расчета неизвестных R1 и C

На вход этой цепи подается последовательность однополярных прямоугольных импульсов напряжением E B, длительностью ti, с частотой f и скважностью 2.

Для синхронного управления ключевыми схемами с помощью цепи Рис.2.11 необходимо сформировать остроконечные импульсы, длительность которых была бы во много раз меньше длительности прямоугольных импульсов на входе цепи. Другими словами, заряд и разряд конденсатора должен происходить за время много меньше, чем длительность прямоугольного импульса

где K<<1 - коэффициент длительности переходного процесса в цепи Рис.2.11.

При этом заданными величинами должны быть: сопротивление нагрузки R2, с которого снимается напряжение и максимальное значение U2 этого напряжение (U2<E).

Решение. Из условия задачи следует, что необходимо определить два параметра:

R1- балластное (регулировочное) сопротивление;

C- емкость конденсатора цепи Рис.2.11.

В соответствии с принятым алгоритмом расчета переходных процессов в цепях первого порядка получаем следующее.

1. Независимые начальные условия:

где U2 - потребное значение напряжения на нагрузке в момент коммутации.

2. Зависимые начальные условия.

К зависимым начальным условиям, в данном случае, относится напряжение на балластном сопротивление . Для определения этого напряжения составим уравнение по второму закону Кирхгофа и рассмотрим его на момент коммутации (на момент воздействия первого импульса):

На момент воздействия первого импульса t=0 имеем

Поскольку UC(0)=0, U2(0)=U2, следовательно, U1(0) должно быть равным:

С другой стороны на момент t=0 можно записать

Разделив левые и правые части этих соотношений, получим:

Для определения потребного значения емкости примем во внимание, что длительность переходного процесса в спроектированной цепи должно составлять не более

Это означает, что должно выполняться равенство:

5*=K*ti или 5*(R1+R2)*C=K*ti.

Отсюда получаем потребное значение емкости

Расчет законов изменения напряжений на емкости и резисторах R1, R2 в цепи Рис.2.11 можно производить по формулам, приведенным в примере 2.1. Однако, ограничимся расчетом потребных значений R1, C, но выполним электронное моделирование спроектированной цепи.

Результаты расчетов и электронного моделирования приведены в примере 2.5.

Из Рис.2.12, где приведены результаты электронного моделирования, видно, что для спроектированной цепи RC переходной режим является «штатным». Данную цепь можно рассматривать как генератор остроконечных импульсов или преобразователь напряжения: прямоугольные импульсы преобразуются в остроконечные.

Глава 3. Переходные процессы в цепях второго порядка

3.1 Общая характеристика переходных процессов в цепях второго порядка

Цепями второго порядка называются цепи, в которых содержится два накопителя энергии: индуктивность и емкость.

Электрические цепи второго порядка бывают разветвленными и неразветвленными. К неразветвленным цепям второго порядка относится последовательный колебательный контур. К разветвленным цепям второго порядка относятся Г-образные фильтры нижних и верхних частот.

Электромагнитные процессы в цепях второго порядка описываются дифференциальными уравнениями второго порядка.

Например, дифференциальное уравнение относительно тока в последовательном колебательном контуре можно получить из уравнения, составленного по второму закону Кирхгофа, для мгновенных значений тока и напряжений:

После дифференцирования (3.2) получим дифференциальное уравнение второго порядка относительно тока

Обозначим, как и ранее, искомый ток i(t) через Y и разделим левую и правую части (3.3) на L, получим дифференциальное уравнение второго порядка:

где - коэффициент затухания;

- резонансная частота контура;

- правая часть дифференциального уравнения (3.3).

Из курса математики известно, что решение дифференциального уравнения второго порядка, также как и первого, представляется в виде двух слагаемых:

где Yпр(t) - принужденная составляющая искомого тока или напряжения, которая зависит от вида источника напряжения, оставшегося в цепи после коммутации;

Yсв(t) - свободная составляющая, характер которой определяется только структурой цепи образовавшейся после коммутации.

Для решения дифференциального уравнения второго порядка, также как и первого, и по тем же правилам, составляется характеристическое уравнение, которое, в общем, имеет вид:

Корни этого уравнения:

где .

Свободная составляющая искомого тока или напряжения записывается в виде:

(3.8)

где A1, A2 - неизвестные постоянные интегрирования, которые зависят от начальных условий.

Допустим, что для цепи второго порядка составлено характеристическое уравнение (3.6) и определены его корни (3.7), а также найдены принужденные составляющие искомых токов и напряжений. Тогда общее решение дифференциального уравнения можно записать в виде:

. (3.9)

Для определения двух неизвестных и необходимо составить два уравнения.

В качестве первого уравнения используется уравнение (3.9), а в качестве второго - используется первая производная от (3.9).

Рассматривая (3.9) и (3.10) на момент t=0, получим два уравнения с двумя неизвестными A1 и A2:

Совместное решение системы (3.11) дает:

После подстановки корней характеристического уравнения (3.6) и найденных постоянных интегрирования (3.12) в формулу общего решения (3.9) и преобразования, получим закон изменения искомого тока или напряжения:

(3.13)

где a=Y(0)-Yпр(0); b=Y'(0)-Y'пр(0) - постоянные коэффициенты, зависящие от начальных условий.

Отметим, что формула (3.13) является общей для всех токов и напряжений в данной цепи второго порядка. При этом меняются только коэффициенты a и b и их размерность.

При решении конкретных задач могут представиться три случая.

Случай 1. Корни характеристического уравнения (3.7) действительные и разные, что возможно при >k.

В этом случае после коммутации в цепи возникает апериодический режим, при котором все токи и напряжения изменяются плавно, без колебаний, а их законы описываются уравнением (3.13).

Случай 2. Корни характеристического уравнения (3.7) действительные и одинаковые, что возможно при =k.

В этом случае в цепи после коммутации возникает критический режим.

При =k , =2-k2 =0, P1=P2=-, формула (3.13) приобретает другой вид, поскольку

Страницы: 1, 2, 3, 4