Переходные процессы в линейных электрических цепях
Переходные процессы в линейных электрических цепях
18 МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ(государственный технический университет)ФИЛИАЛ «ВЗЛЕТ»Кафедра РЭВСРАЛДЫГИН И.К.КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ«Основы теории цепей». Часть 3. Переходные процессы в линейных электрических цепях
Учебное пособие для студентов радиотехнической специальности. Ахтубинск - 2004Предисловие к 3-ей частиВ третьей части конспекта по Основам теории цепей (ОТЦ) кратко изложены два метода расчета переходных процессов в линейных электрических цепях: Классический метод и Операторный метод. И классический и операторный методы расчета теоретически можно применять для решения задач любой сложности. Каким из них пользоваться определяется автором. Однако классический метод физически более прозрачен, чем операторный, в котором решение уравнений во многом формализовано. Операторный метод имеет перед классическим явное преимущество если для расчета переходных процессов использовать прикладную программу Mathcad 2000, особенно в тех случаях, когда воздействующее напряжение является линейно возрастающее или в виде всплеска одной или несколько экспонент. Глава 1. Основные сведения о переходных процессах в линейных электрических цепях 1.1 Возникновение и общая характеристика переходных процессов Выше рассматривались цепи, в которых выполнялись два условия: 1) Источники энергии были подключены к цепи теоретически бесконечно давно; 2) Никаких изменений в состоянии цепи не производилось. Такой режим работы цепи называется установившимся или принужденным. Переходным называют электромагнитный процесс, возникающий в электрической цепи, при переходе от одного установившегося режима к другому. Этот переход может происходить вследствие преднамеренного или случайного отключения цепи, а также подключения ее под напряжение, вследствие обрыва или короткого замыкания в цепи. Любые изменения в цепи можно представить в виде переключений, которые называются коммутацией. Коммутация на схемах обозначается в виде ключа со стрелкой, обозначающей замыкание или размыкание: Теоретически считается, что коммутация производится мгновенно. Установившийся режим работы цепи при заданных и неизменных ее параметрах полностью определяется источником энергии: постоянный ток, переменный ток. После коммутации, т.е. во время переходного процесса, токи и напряжения в цепи определяются не только внешними, но и внутренними источниками энергии, в качестве которых выступают индуктивности и емкости. Дело в том, что в режиме, который существовал до коммутации, в катушках и конденсаторах было накоплено определенное количество энергии: В момент коммутации (t=0) начинается перераспределение энергии между внутренними накопителями и внешними источниками; при этом часть энергии необратимо преобразуется в тепло. По истечении какого-то времени после коммутации в цепи установится новый режим, который будет обусловлен только внешними источниками энергии. При отключении цепи от внешних источников переходной процесс будет существовать только за счет энергии накопленной в индуктивностях и емкостях, т.е. только за счет внутренней энергии. Новый установившийся режим, в этом случае, будет характеризоваться отсутствием тока в цепи. Задача анализа переходного процесса заключается в том, чтобы установить по какому закону и как долго будет происходить переход от одного режима к другому. В соответствии с законом непрерывности энергии напряжение на емкости и ток через индуктивность не могут изменяться скачком, т.к. в этом случае мощность, равная скорости изменения энергии обращалась бы в бесконечность, что физически невозможно. На основании изложенного сформулированы два закона коммутации: · Заряд и напряжение на емкости в момент коммутации остаются такими же, какими они были непосредственно перед коммутацией, а затем плавно изменяются; · Ток через индуктивность в момент коммутации остается таким же, каким он был непосредственно перед коммуникацией, а затем плавно изменяется. Математически законы коммутации записываются в следующем виде: Ток через емкость и напряжение на индуктивности могут изменяться скачком. 1.2 Начальные условия Значения токов, напряжений и их производных в момент коммутации называют начальными условиями. Начальные условия подразделяются на зависимые и независимые. Напряжение на емкости и ток через индуктивность, непосредственно перед коммутацией, называются независимыми начальными условиями, т.к. их значения не зависят от вида и места коммутации и определяются только энергетическим состоянием цепи непосредственно перед коммутацией. Зависимыми начальными условиями являются токи через емкость и напряжение на индуктивности в момент коммутации. Они зависит от вида и места коммутации и в общем случае, в момент коммутации, могут изменяться скачком. Независимые начальные условия определяются в цепи до коммутации, а зависимые начальные условия определяются в цепи образовавшейся в момент коммутации. 1.3 Математические основы анализа переходных процессов Электромагнитные процессы в линейных электрических цепях в установившемся режиме описываются законами Кирхгофа для мгновенных или комплексных значений токов и напряжений. Для определения законов изменения токов и напряжений в переходном режиме необходимо линейные уравнения, составленные по законам Кирхгофа для мгновенных значений, записать в виде дифференциальных уравнений, а затем решить эти уравнения относительно искомых токов и напряжений. Таким образом, анализ переходных процессов сводится к решению обыкновенных дифференциальных уравнений с правой частью. На практике для решения дифференциальных уравнений применяют классический и операторный методы расчета. Суть классического метода расчета рассмотрим на конкретном примере. Пусть задана электрическая цепь из последовательно соединенных RC элементов Рис.1.1. Рис. 1.1. Цепь RC в момент t=0 при нулевых начальных условиях, Uc(0)=0, подключается к источнику постоянного напряжения Определим, в общем виде, законы изменения напряжения на емкости и ток в цепи после коммутации. Решение. При анализе переходных процессов классическим методом необходимо составить уравнения по законам Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений. В данном случае можно составить только одно уравнение по второму закону Кирхгофа: (1.1) Поскольку исходное алгебраическое уравнение (1.1) можно записать в дифференциальной форме: (1.2) При анализе переходных процессов в качестве искомых функций могут выступать токи и напряжения на пассивных элементах цепи, образовавшейся после коммутации. Для общности обозначений, принятых в математике, условимся в дальнейшем искомую функцию обозначать Y(t). Тогда дифференциальное уравнение (1.2) можно записать в виде: (1.3) где - постоянная времени. Из курса математики известно, что полное решение дифференциального уравнения (1.3) представляется в виде суммы двух составляющих: (1.4) где Yпр(t)- принужденная составляющая; Yсв(t) - свободная составляющая. Принужденная составляющая искомого тока или напряжения определяется из анализа установившегося режима в цепи, образовавшейся после коммутации, для чего применяются любые известные методы расчета: по законам Кирхгофа, методом контурных токов и др. Таким образом, принужденная составляющая зависит от вида источника напряжения и параметров цепи, образовавшейся после коммутации. Свободная составляющая искомого тока или напряжения представляет собой решение уравнения (1.3) без правой части: (1.5) а именно: (1.6) где - постоянная интегрирования, которая зависит от начальных условий; - корень характеристического уравнения (1.7) Свободная составляющая является результатом действия внутренних источников энергии, когда они не уравновешены внешними источниками. Свободная составляющая с течением времени затухает и в пределе стремится к нулю. Свободная составляющая не зависит от вида воздействующих внешних источников энергии, и ее характер определяется только свойствами цепи, образовавшейся после коммутации. Таким образом, закон изменения искомого тока или напряжения в переходном режиме определяется двумя факторами: свойствами цепи образовавшейся после коммутации и приложенным напряжением. Глава 2. Переходные процессы в цепях первого порядка 2.1 Общий алгоритм расчета переходных процессов в цепях первого порядка классическим методом Электрической цепью первого порядка называется цепь, которая включает в себя только один накопитель энергии (индуктивности или емкость) или сколько угодно накопителей одного характера, но которые могут быть заменены одним эквивалентным. На основании вышеизложенного составлен алгоритм расчета переходных процессов в цепях первого порядка, который сводится к выполнению следующих операций. 1. Расчет независимых начальных условий производится в цепи непосредственно перед коммутацией, в результате чего определяются значения напряжений на емкости и ток через индуктивность в момент коммутации: Независимые начальные условия бывают нулевые, когда UC(0) = 0, iL(0) = 0 и ненулевые, когда UC(0) 0, iL(0) 0. 2. Расчет зависимых начальных условий производится в цепи, которая образовалась после коммутации. Для этого необходимо составить уравнения по законам Кирхгофа и рассмотреть их на момент коммутации t=0. После этого определяются зависимые начальные условия, например, для цепи Рис.1.1: 3. Расчет принужденных составляющих производится в цепи, которая образовалась после коммутации, используя известные методы расчета установившихся процессов. В результате определяются принужденные составляющие искомых токов и напряжений Yпр(t). Например, для цепи Рис.1.1: 4. Составление характеристического уравнения и определение его корня. Для решения дифференциального уравнения первого порядка, например (1.5), необходимо составить характеристическое уравнение первого порядка и найти его корень. Характеристическое уравнение можно составить двумя способами, например, для цепи Рис.1.1: · либо путем формальной замены оператора дифференцирования оператором · либо для цепи, образовавшейся после коммутации, составить комплексное входное сопротивление, а затем путем формальной замены j*=P получить операторное сопротивление, которое приравнять к нулю и найти корень этого уравнения. Например, для цепи Рис.1.1: 5. Определение свободных составляющих искомых токов и напряжений. Свободные составляющие всех токов и напряжение в цепях первого порядка представляют собой решение дифференциального уравнения без правой части (1.5) и записываются в виде: (2.1) Например, для цепи Рис.1.1 свободные составляющие для тока в цепи и напряжения на емкости имеют вид: Они отличаются друг от друга только постоянными интегрирования. 6. Расчет постоянных интегрирования. Для расчета постоянных интегрирования, входящих в (2.1), необходимо составить полное решение дифференциального уравнения и рассмотреть его на момент коммутации : (2.2) При t=0 имеем: (2.3) Например, для цепи Рис.1.1: 7. Запись полного решения дифференциального уравнения (2.3): Для цепи Рис.1.1 получим: (2.4) 2.2 Переходные процессы в цепи RC при подключении ее к источнику постоянного напряжения и коротком замыкании Рассмотрим электрическую цепи, изображенную на Рис.2.1, которая в момент , при нулевых начальных условиях UC(0)=0, подключается к источнику постоянного напряжения E, а затем в момент t10 в цепи происходит короткое замыкание, (ключ K2 замыкается, а ключ K1 размыкается). Рис. 2.1. Цепь RC при подключении к источнику постоянного напряжения (ключ замыкается, ключ - разомкнут) и коротком замыкании (ключ - размыкается, а ключ - замыкается). Определим законы изменения напряжений на емкости и на резисторе после первой и второй коммутаций. Законы изменения напряжений на емкости и резисторе после первой коммутации получены при изложении алгоритма расчета переходных процессов в цепях первого порядка (2.4). Определим теперь эти законы после второй коммутации, полагая, что вторая коммутация произошла в момент t0. Фактически требуется рассчитать переходные процессы в цепи RC при ненулевых начальных условиях. Следуя принятому алгоритму, получим следующее: 1. Независимые начальные условия. Напряжение на емкости в момент t1 будет: 2. Зависимые начальные условия определим из уравнения, составленного по второму закону Кирхгофа, для цепи образовавшейся после второй коммутации: 3. Принужденные составляющие после второй коммутации будут равны нулю, т.к. в цепи нет источника напряжения: 4. Характеристическое уравнение остается таким же как после первой коммутации: 5. Свободные составляющие не зависят от входного напряжения, поэтому определяются по формуле (2.1). 6. Постоянные интегрирования определяются по формуле (2.3). 7. Законы изменения напряжений на емкости и на резисторе после второй коммутации принимают вид: Из формулы (2.4) видно, что нарастание напряжения на емкости происходит тем быстрее, чем меньше постоянная времени. Для различных моментов времени напряжение на емкости, отнесенное к входному напряжению, характеризуется следующими данными (Таблица 2.1). Таблица 2.1. Переходной процесс теоретически продолжается бесконечно долго. Однако, как видно из приведенной таблицы, в цепях первого порядка он заканчивается через время, равное (4…5)* после коммутации. В связи с этим принято считать, что длительность переходного процесса в цепях первого порядка составляет
Страницы: 1, 2, 3, 4
|