Переходные процессы в линейных электрических цепях

В критическом режиме токи и напряжения, как видно из (3.14), изменяются также плавно, как в апериодическом режиме.

Критический режим лежит на границе между апериодическим и колебательным, к рассмотрению которого приступаем.

Случай 3. Корни характеристического уравнения (3.7) комплексные сопряженные, что возможно при < k.

В этом случае в цепи после коммутации возникает колебательный режим.

При < k имеем:

где - частота свободных колебаний.

Корни характеристического уравнения в этом случае принимают вид:

P1 = - + j* св; P2 = - - j* св.

Если в формуле (3.13) заменить = j* св, то получим:

.

Поскольку, законы изменения токов и напряжений в колебательном режиме принимают вид:

(3.15)

Подчеркнем еще раз, что формулы (3.13), (3.14) и (3.15) являются общими для всех токов и напряжений в цепях второго порядка.

3.2 Алгоритм расчета переходных процессов в цепях второго порядка

На основании вышеизложенного можно предложить следующий алгоритм расчета переходных процессов в цепях второго порядка.

1. Расчет независимых начальных условий производится в цепи до коммутации, в результате чего определяются ток через индуктивность и напряжение на емкости:

2. Расчет зависимых начальных условий производиться для цепи, образовавшейся после коммутации. Для этого составляются уравнения по первому и второму законам Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений. Затем эти уравнения необходимо рассмотреть на момент t=0.

В уравнениях, составленных на момент t=0, известными будут: e(0), iL(0) и UC(0), а неизвестными UL(0) и iC(0), которые и определяются.

3. Расчет первых производится на момент t=0.

Для определения постоянных коэффициентов a и b, входящих в формулы (3.13), (3.14) и (3.15), необходимо знать значения не только искомых функций, но и их первых производных на момент t=0.

Первые производные искомых функций определяются путем дифференцирования уравнений, составленных по законам Кирхгофа, и рассмотрения их на момент t=0.

При этом в первую очередь определяются первые производные тока через индуктивность и напряжение на емкости, для чего используются уравнения связи между током и напряжением этих элементов.

. (3.16)

После этого определяются первые производные Y'(0).

4. Расчет принужденных составляющих и их первых производных на момент t=0.

Принужденные составляющие искомых токов и напряжений определяются любым известным методом расчета установившихся режимов в цепи образовавшейся после коммутации (по законам Кирхгофа, методом контурных токов и др).

Затем полученные выражения для мгновенных значений принужденных токов и напряжений необходимо продифференцировать по времени, после чего определить: Yпр(0) и Yпр'(0).

5. Расчет постоянных коэффициентов a и b.

Постоянные коэффициенты a и b определяются по формулам:

6. Составление характеристического уравнения, определение и анализ его корней, выбор расчетной формулы для свободной составляющей.

Одним из описанных выше методов составляется характеристическое уравнение, например, Z(P)=0 и определяются его корни P1 и P2.

На основании анализа корней характеристического уравнения выбирается одна из трех формул (3.13), (3.14), (3.15) для расчета законов изменения тока или напряжения после коммутации.

3.3 Переходные процессы в последовательном колебательном контуре при подключении его к источнику постоянного напряжения

Рассмотрим последовательный колебательный контур (Рис.3.1), который относится к неразветвленным цепям второго порядка.

Пусть данный контур при нулевых начальных условиях подключается к источнику постоянного напряжения .

Рис. 3.1. Последовательный колебательный контур

Определим для этих условий законы изменения тока в цепи и напряжений на пассивных элементах после коммутации.

Расчет законов будем вести по принятому выше алгоритму.

1. Независимые начальные условия.

Цепь до коммутации была обесточена, поэтому

2. Зависимые начальные условия.

Зависимым начальным условием, в данном случае, является напряжение на индуктивности. Для его определения составим единственно возможное уравнение по второму закону Кирхгофа для мгновенных значений напряжений и рассмотрим его на момент t=0.

.

На момент t=0 получим:

Поскольку i(0)=0 и UC(0)=0, постольку

Напряжение на индуктивности в момент коммутации скачком принимает значение, равное приложенному напряжению.

3. Первые производные и их значения на момент t=0.

В соответствии с (3.16), имеем:

(3.18)

.

Производную напряжения на индуктивности найдем после дифференцирования уравнения (3.17) и рассмотрения его на момент t=0.

На момент t=0, имеем

Таким образом, первые производные для рассматриваемого случая:

4. Принужденные составляющие и их первые производные на момент t=0.

В цепи образовавшейся после коммутации (Рис.3.1), через какое-то время конденсатор зарядится до уровня приложенного напряжения , ток в цепи прекратится, т.к. постоянный ток через емкость не проходит. Принужденные составляющие и их первые производные соответственно будут равны:

5. Постоянные коэффициенты a и b определяются по общей формуле:

.

6. Характеристическое уравнение и его корни.

Характеристическое уравнение, соответствующее дифференциальному уравнению второго порядка (3.4), получим из комплексного входного сопротивления цепи Рис.3.1 путем формальной замены j* P.

Приравняв к нулю Z(P) и выполнив очевидные преобразования, получим характеристическое уравнение (3.6), корни которого зависят от конкретных значений RLC-элементов рассматриваемого контура Рис.3.1.

(3.20)

В данном случае корни (3.20) определяются по формулам:

где - коэффициент затухания свободной составляющей;

- резонансная частота последовательного контура Рис.3.1;

- постоянная величина.

Как было сказано выше, в цепях второго порядка, в зависимости от вида корней характеристического уравнения (3.19), после коммутации может возникнуть один из трех возможных режимов: апериодический, критический или колебательный.

Найдем закон изменения напряжений на пассивных элементах цепи Рис.3.1 при подключении ее к источнику постоянного напряжения при нулевых начальных условиях для упомянутых случаев.

3.3.1 Апериодический режим

Апериодический режим наступает, если корни характеристического уравнения (3.20) действительные и разные, а это возможно если

где - волновое сопротивление контура;

- добротность контура.

Таким образом, в последовательном колебательном контуре (Рис.3.1) апериодический режим наступает при Q<0.5.

В связи с этим при анализе переходных процессов в последовательном колебательном контуре отпадает надобность в составлении характеристического уравнения и определении его корней.

В апериодическом режиме законы изменения тока и напряжений на пассивных элементах описываются формулой (3.13).

Если подставить в (3.13) найденные значения коэффициентов a и b (см. п.5) и выполнить простейшие преобразования, то получим законы изменения напряжений на пассивных элементах последовательного колебательного контура (3.1) в апериодическом режиме:

Для иллюстрации законов изменения напряжений на пассивных элементах последовательного колебательного контура в апериодическом режиме зададимся произвольными значениями E, L, C, , а сопротивление нагрузки R выберем таким, чтобы Q<0.5 и по формулам (3.20) рассчитаем и построим соответствующие графики.

Пример таких расчетов приведен на Рис.3.2.

3.3.2 Критический режим

Критический режим в последовательном колебательном контуре наступает, если корни характеристического уравнения действительные и одинаковые, а это возможно, если:

Таким образом, критический режим в последовательном колебательном контуре наступает при Q<0.5.

Законы изменения напряжений на пассивных элементах цепи Рис.3.1 в критическом режиме описываются формулой (3.14).

Если подставить в (3.14) значения a и b (см. п.5) и выполнить простейшие преобразования, то получим:

Для иллюстрации законов изменения напряжений на пассивных элементах последовательного колебательного контура в критическом режиме выберем значения E, L и C такими как в примере 3.1, а сопротивление нагрузки выберем из условия Q=0.5.

Пример расчетов по формулам (3.21) приведен на Рис.3.3.

Из сравнения рисунков 3.2 и 3.3 следует, что изменения напряжений на резисторе (ток в цепи) в критическом режиме происходят более плавно, чем в апериодическом.

Кроме того, в критическом режиме конденсатор заряжается, примерно, в 2,6 раза быстрее, чем в апериодическом.

Если ограничить длительность переходного процесса в критическом режиме временем tпер=5/, при котором UC(tпер)=0.96*E, то возникает возможность синтеза последовательного колебательного контура в заданной длительностью переходного процесса в критическом режиме.

Пусть задано сопротивление нагрузки R в цепи рис.3.1, которая подключается к источнику постоянного напряжения при нулевых начальных условиях. Необходимо найти такие значения L и C, при которых в цепи возникает критический режим, длительность которого должна составлять tпер.

Решение. В критическом режиме tпер=5/;

Совместное решение этих уравнений дает формулы для расчета потребных значений индуктивности и емкости

3.3.3 Колебательный режим

Колебательный режим в последовательном колебательном контуре возникает, если корни характеристического уравнения комплексные и сопряженные, а это возможно если

В этом случае

где - частота свободных колебаний.

В колебательном режиме законы изменения напряжений на пассивных элементах контура определяются по формуле (3.15).

Подстановка коэффициентов a и b (3.19) в формулу (3.15) дает законы изменения напряжений на пассивных элементах контура Рис.3.1:

.

Для иллюстрации законов изменения напряжений на пассивных элементах последовательного колебательного контура в колебательном режиме (3.22) выберем значения E, L и C такими же, как в примерах 3.1 и 3.2, а сопротивление нагрузки выберем из условия Q=5.

Пример расчетов по формулам (3.22) приведен на Рис.3.4.

Из анализа изложенного следует, что при Q>0.5 в последовательном контуре Рис.3.1 возникают затухающие колебания, при которых происходит непрерывный обмен энергией между индуктивностью и емкостью.

Затухание свободных колебаний происходит вследствие необратимых потерь энергии в активном сопротивлении R.

Длительность переходного процесса в колебательном режиме определятся коэффициентом затухания

Чем больше Q, т.е. чем меньше R, тем дольше продолжается переходной процесс.

Частота свободных колебаний всегда меньше резонансной частоты контура

и при

Из Рис.3.4 видно, что напряжение на емкости в начале переходного процесса почти в два раза превышает приложенное напряжение, что необходимо учитывать при выборе пробивного напряжения конденсатора.

Таким образом, режим переходного процесса в колебательном контуре, при подключении его к источнику постоянного напряжения, целиком определяется комбинацией значений RLC-элементов:

При Q<0.5 - в цепи после коммутации наступает апериодический режим;

при Q=0.5 - критический режим;

при Q>0.5 - колебательный режим.

Глава 4. Операторный метод расчета переходных процессов в линейных электрических цепях

4.1 Общие сведения

В предыдущих главах был изложен классический метод расчета переходных процессов в линейных электрических цепях.

Такие процессы описываются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Для их решения классическим методом необходимо определить постоянные интегрирования, зависящие от начальных условий. По мере усложнения электрических схем и возрастания порядка дифференциальных уравнений трудности, связанные с нахождением постоянных интегрирования, увеличиваются.

Решение упомянутых уравнений может быть выполнено операторным методом, где не требуется дополнительно определить постоянные интегрирования.

При использовании операторного метода действительные функции времени, называемые оригиналами, заменяются их операторными изображениями. В результате чего исходные дифференциальные уравнения заменяются алгебраическими; затем после решения алгебраических уравнений производится обратный переход в область функций действительного переменного.

Связь между оригиналом f(t) и его изображением устанавливается прямым преобразованием Лапласа:

где P = + j* - комплексное число.

Из определения изображения (4.1) следует, что каждый оригинал имеет единственное изображение. В свою очередь, оригинал вполне определяется своим изображением.

Фразу «оригинал f(t) имеет своим изображением F(P)» принято записывать в виде знака соответствия :

или

Существует обратное функциональное преобразование, дающее возможность определить оригинал по его изображению (4.1):

Формула (4.2) называется обратным преобразование Лапласа.

4.2 Изображения простейших функций

При исследовании переходных процессов в электрических цепях чаще всего возникает необходимость в определении изображений единичной функции l(t), линейной функции a*t, экспоненциальной функции , синусоидальной и косинусоидальной функции, их производных и интегралов.

Страницы: 1, 2, 3, 4