Теория автоматического регулирования

1) На уровне 20=53дБ параллельно уровню 0дБ откладывается горизонтальная прямая.

2) На частоте щs1=8,13 (постоянная времени 0,123с) проводим прямую с таким наклоном: -20дБ/дек.

3) На частоте щs2=25 (постоянная времени 0,04с) проводим прямую с таким наклоном: -40дБ/дек.

4) На частоте щs3=50 (постоянная времени 0,02с) проводим прямую с таким наклоном: -60дБ/дек.

5) На частоте щs4=66,67 (постоянная времени 0,015с) проводим прямую с таким наклоном: -80дБ/дек. На этом построение нескорректированной ЛАЧХ завершено.

6) Строим ЛФЧХ по формуле ц(щ)=-arctg(щ)-arctg(щ)-arctg(щ)-arctg(щ).

Итак, изменение наклона ЛАЧХ на -20дБ/дек на каждой следующей частоте сопряжения проводится в связи с тем, что все звенья, кроме , входящие в - инерционные. Поэтому для каждого из них ЛФЧХ строится по зависимости -arctg(щ). Если бы наклон на следующей частоте сопряжения был например -40дБ/дек, то зависимость была бы 2. Поэтому в дальнейшем все ЛФЧХ будем строить аналогично этой(***).

Теперь примем порядок построения желаемой ЛАЧХ, предложенный в [1]:

1) Определим с помощью графика (рис. 10) параметры Pmax и Pmin ВЧХ, соответствующие заданному перерегулированию.

Для нашего случая у = 25%. При у = 25% по рис. 9 определили: Pmax = 1,15

Pmin = 1 - 1,15 = - 0,15.

По формуле (4.1) найдем увеличение перерегулирования Ду:

Ду ? 0,3•0,15•100% =4,5%.

Итак, возьмем Pmax = 1,15, Pmin = -0,15.

2) Определим частоту положительности щп, исходя из требуемого времени регулирования tр и Pmax - по рисунку 10.

При Pmax = 1,15 и tр=1

tрmax = 4р / щп.

Следовательно, щп = 4р / tрmax = 12,566

3) Выберем частоту среза желаемой ЛАЧХ из диапазона

щс = (0,5 ч 1) щп ,

где 0,5 и 1 - критические граничные значения (в [1] были указаны значения с запасом - 0,6 и 0,9), исходя из соображений:

- чем больше щс, тем более быстродействующей будет система, потому что желаемая ЛАЧХ, а значит, и ЛАЧХ последовательного корректирующего устройства будет сдвигаться вправо, что приведёт к увеличению самой первой частоты сопряжения (самой маленькой), а значит, к уменьшению постоянной времени (самой большой), соответствующей этой частоте;

- чем меньше - тем проще корректирующее устройство, потому что запретная область будет сдвигаться в сторону низкочастотной части желаемой ЛАЧХ, что позволит повторить высокочастотную часть нескорректированной ЛАЧХ на желаемой, всё меньше попадая в запретную область.

Пойдем по пути максимального упрощения корректирующего устройства в соответствии с целью курсового проекта, выбрав коэффициент 0,527:

щс = 0,527щп = 6,62

4) На оси 0 дБ отметим точку, соответствующую частоте среза, и через нее проведем прямую с наклоном -20 дБ/дек (данный наклон был выбран в связи со следующими соображениями: чем круче амплитуда, тем круче фазовая характеристика - -90є при -20дБ/дек; если выбрать наклон круче, то ЛФЧХ будет спускаться к уровню -180є, что может повлиять на устойчивость). Эта прямая будет среднечастотной асимптотой желаемой ЛАЧХ.

Провели прямую через точку (6,62; 0 дБ) с наклоном -20 дБ/дек.

5) По кривым (рис. 11) определим размеры «запрещенной зоны» для желаемых ЛАЧХ и ФАЧХ: L1, L2 и ц1. L1 и L2 отложим на оси ординат и проведем прямые, параллельные оси 0 дБ . Также проведем горизонтали на ЛФЧХ, между которыми будет находиться «запрещённая зона»: ц1 и -180є.

По рис.11 для Pmax = 1,15, Pmin = -0,15: L1 = 18 дБ, L2 = -18 дБ, ц1 = -130є.

В дальнейшем эти горизонтальные прямые (L1 и L2) понадобятся нам для проверки условия (4.4). Точки пересечения этих прямых с желаемой ЛАЧХ будут давать диапазон частот, в котором желаемая ЛФЧХ в идеале должна находиться вне «запрещённой зоны».

6) Низкочастотная асимптота желаемой ЛАЧХ - это низкочастотная асимптота ЛАЧХ нескорректированной разомкнутой САУ с требуемым коэффициентом передачи К , при котором обеспечивается заданная точность регулирования.

7) Сопрягаем среднечастотную асимптоту желаемой ЛАЧХ с низкочастотной нескорректированной ЛАЧХ на частоте 0,0182 (постоянная времени 54,945с) (чтобы полученная в дальнейшем ЛАЧХ последовательного корректирующего звена начиналась на уровне 0дБ), причем стараемся сделать так, чтобы корректирующее звено при этом было как можно проще (если не делать сопряжения, то ЛАЧХ последовательного корректирующего звена будет лежать выше уровня 0дБ, то есть попадёт в положительную полуплоскость, а значит, понадобится усиление в виде добавления дополнительного усиливающего устройства в корректирующее звено, что сильно его усложнит).

Стараемся менять наклон асимптоты желаемой ЛАЧХ на тех же частотах, на которых меняется наклон асимптоты нескорректированной ЛАЧХ. При этом корректирующее звено будет иметь меньше сопряжений, то есть будет проще.

В нашем случае сопрягли среднечастотную асимптоту на частоте, при которой эта асимптота пересекается с низкочастотной. Частота сопряжения: 0,0182(соответствующей постоянной времени 54,945). Изменение наклона на частоте 8,13 (соответствующей постоянной времени 0,123) мы пропустили, так как нам нужно было приблизиться к низкочастотной асимптоте, то есть не менять наклон среднечастотной асимптоты в «запрещённой зоне». Проверяем выполнение условия (4.4) - выполняется.

8) Строим высокочастотную часть желаемой ЛАЧХ. Проводим ее так, чтобы разность наклонов между асимптотами нескорректированной и желаемой ЛАЧХ не превышала 20 дБ/дек, а последние асимптоты сливались.

Изменения наклонов также желательно производить на тех же частотах, на которых меняются наклоны асимптоты нескорректированной САУ.

Крайняя правая асимптота желаемой ЛАЧХ может иметь тот же наклон, что и последняя асимптота ЛАЧХ нескорректированной САУ или «сливаться» с ней на какой-то частоте (чтобы получить последний наклон ЛАЧХ последовательного корректирующего звена равным 0дБ/дек).

Изменение наклона на частоте 25 (соответствует постоянной времени 0,04) мы пропустили аналогично предыдущему пункту 7), чтобы обеспечить как можно меньше изменений наклона асимптоты ЛАЧХ на отрицательную величину (т.е. на -20дБ/дек, на -40дБ/дек).

Последнее изменение наклона произвели на частоте, на которой асимптоты ЛАЧХ нескорректированной САУ и желаемой ЛАЧХ имеют одинаковый наклон -80дБ/дек (разница наклонов 0дБ/дек для ЛАЧХ последовательного корректирующего устройства). Это происходит на частоте 50 (постоянная времени 0,02). Проверяем выполнение условия (4.4): оно выполняется, во всей среднечастотной части желаемой ЛАЧХ сохраняется наклон -20дБ/дек. Теперь строим ЛАЧХ последовательного корректирующего звена, вычитая из каждого следующего наклона желаемой ЛАЧХ наклон нескорректированной. Затем в соответствующих диапазонах частот строим полученные разностные наклоны. Все получившиеся ЛАЧХ, желаемая и последовательного корректирующего звена, представлены в приложении на Рис.2 сплошными линиями. По полученной ЛАЧХ последовательного корректирующего звена запишем его передаточную функцию:

Все окончательные («сглаженные») ЛАЧХ и ЛФЧХ мы строили при помощи программы Mathcad (см. Приложение Рис.3,4,5,6). При этом ввели в программу передаточные функции нескорректированной САУ и скорректированной. Передаточная функция скорректированной САУ будет иметь следующий вид:

Это выражение мы получили, перемножив передаточные функции и .

Окончательные графики ЛАЧХ нескорректированной и получившейся скорректированной САУ представлены в приложении на Рис.3 (тонкой линией - ЛАЧХ корректирующего звена (в данном случае с наклонами 0 -20 0 +20 0), средней толщины линией - скорректированной САУ, толстой линией - нескорректированной). Там же представлен график желаемой ЛФЧХ. Как видно из рисунков, условие (4.4) почти выполняется. ЛФЧХ заходит в «запрещённую зону» в её конце, ближе к высокочастотной части ЛЧХ. Это можно объяснить следующим образом.

Факт захода в «запрещённую зону» означает лишь то, что либо Pmax окажется выше изначального значения либо Pmin - окажется ниже в зависимости от того, в какой области частот был совершён заход в «запрещённую зону». Высокочастотная область ЛЧХ соответствует малой области времён, где процесс САУ будет действовать, а низкочастотная - большой области времён, где процесс уже завершится. Поэтому Pmax влияет на показатели качества процесса гораздо сильнее, чем Pmin.

Из-за того, что низкочастотная часть ЛФЧХ, как видно на Рис.3, имеет некоторый запас до захода в «запрещённую зону», достаточный для того, чтобы скомпенсировать то, насколько зашла другая часть ЛФЧХ в «запрещённую зону» и учитывая то, что по Рис.10 был взят представленный там «худший случай» (максимальное перерегулирование), мы можем сделать вывод, что наблюдаемый заход в «запрещённую зону» никак ощутимо не скажется на показателях нашей САУ(**).

Окончательную проверку проведем, построив переходный процесс скорректированной САУ (см. Приложение Рис.7). Все переходные процессы в нашем курсовом проекте строятся по замкнутым передаточным функциям для скорректированной САУ. Например, в данном случае (то есть к знаменателю скорректированной передаточной функции добавляется числитель).

Как мы видим, переходный процесс отвечает нашим запросам с очень большим запасом.

Его показатели качества: .

Такую коррекцию можно осуществить путем введения последовательного звена в виде четырёхполюсника с такой схемой:

Рис. 12. Электрическая схема последовательного корректирующего звена(1).

Как мы видим, переходный процесс отвечает нашим запросам с практически половинным запасом, то есть всё ещё достаточно большим.

Его показатели качества: .

Такую коррекцию можно осуществить путем введения последовательного звена в виде четырёхполюсника с такой схемой:

Рис. 13. Электрическая схема последовательного корректирующего звена(2).

Поскольку у нас всё ещё существует почти половинный запас по обоим требуемым показателям качества, попробуем ещё упростить корректирующее устройство.

Для этого вновь изменим высокочастотную часть желаемой ЛАЧХ: в диапазоне частот от 8,13 до 25 сделаем наклон -40дБ/дек, от 25 до 50 - наклон -60дБ/дек, от 50 до 66,67 - наклон -80дБ/дек, а на частоте 66,67 начертим прямую с наклоном -100дб/дек, добившись тем самым на ЛАЧХ последовательного корректирующего звена наклона в -20дБ/дек, начиная с частоты 0,0182 (до частоты 0,0182 наклон на желаемой ЛАЧХ и последовательного корректирующего звена остался тот же: 0дБ/дек). Проверяем выполнение условия (4.4): оно не очень-то выполняется, в середине среднечастотной части желаемой ЛАЧХ наклон -20дБ/дек меняется на -40дБ/дек, но поскольку эти -20дБ/дек были приняты из соображений устойчивости с некоторым запасом, то отступление от этого условия может и не сказаться на показателях САУ. Проверим мы это позже с помощью графика переходного процесса. А теперь строим ЛАЧХ последовательного корректирующего звена, вычитая из каждого следующего наклона желаемой ЛАЧХ наклон нескорректированной. Затем в соответствующих диапазонах частот строим полученные разностные наклоны. Все получившиеся ЛАЧХ, желаемая и последовательного корректирующего звена, представлены в Приложении на Рис.2 штрих-пунктирными линиями. По полученной ЛАЧХ последовательного корректирующего звена запишем его передаточную функцию:

Желаемая ЛФЧХ была построена аналогично действиям (см. *** на с.15).

Тогда передаточная функция скорректированной САУ будет иметь следующий вид:

Окончательные графики ЛАЧХ нескорректированной и получившейся скорректированной САУ представлены в Приложении на Рис.5 (тонкой линией - ЛАЧХ корректирующего звена (в данном случае с наклонами 0 -20 0), средней толщины линией - скорректированной САУ, толстой линией - нескорректированной). Там же представлен график желаемой ЛФЧХ. Как видно из рисунков, условие (4.4) не выполняется. ЛФЧХ заходит в «запрещённую зону» на её половине. Это можно объяснить аналогично (см. ** на с.17). И в итоге наблюдаемый заход в «запрещённую зону» ощутимо скажется на показателях нашей САУ.

Окончательную проверку проведем, построив переходный процесс скорректированной САУ (см. Приложение Рис.9).

Как мы видим (как и предполагалось выше), переходный процесс никак не отвечает нашим запросам с практически двойной ошибкой, то есть наша задача в этом случае не выполняется. То есть мы можем сделать вывод, что на данном варианте корректирующего устройства мы останавливаться не будем.

Показатели качества: .

Тогда попробуем упростить корректирующее звено другим способом: с помощью изменения высокочастотной части желаемой ЛАЧХ, как в предыдущем пункте, но ещё и со сдвигом её влево посредством уменьшения частоты среза, в итоге была выбрана новая частота среза щс*=1,82. Тогда среднечастотная асимптота желаемой ЛАЧХ с низкочастотной нескорректированной ЛАЧХ будут сопрягаться на частоте 0,005 (постоянная времени 200с). Проверяем выполнение условия (4.4): оно почти выполняется, лишь в самом конце среднечастотной части желаемой ЛАЧХ наклон -20дБ/дек меняется на -40дБ/дек, но поскольку эти -20дБ/дек были приняты из соображений устойчивости с некоторым запасом, то небольшое отступление от этого условия не скажется на показателях САУ. Теперь строим ЛАЧХ последовательного корректирующего звена, вычитая из каждого следующего наклона желаемой ЛАЧХ наклон нескорректированной. Затем в соответствующих диапазонах частот строим полученные разностные наклоны. Все получившиеся ЛАЧХ, желаемая и последовательного корректирующего звена, представлены в Приложении на Рис.2 красными штриховыми линиями. По полученной ЛАЧХ последовательного корректирующего звена запишем его передаточную функцию:

Страницы: 1, 2, 3