Сигналы и процессы в радиотехнике (СиПРТ)

, (3.9)

где - коэффициент преобразования детектора, который определяется по формуле:

. (3.10)

где -угол отсечки.

Угол отсечки тока определим решением трансцендентного уравнения:

. (3.11)

Решение уравнения (3.11) произведем в [3].Решив (3.11) находим =21.83, а К0=0.928.

Раскрыв скобки в выражении (3.9), приведём выражение для выходного сигнала к виду

, (3.12)

где: - постоянная составляющая выходного сигнала;

- амплитуда выходного сигнала.

Подставив значения, получим:

Построим сигнал на выходе детектора:

. (3.13)

Рисунок 3.2 - График сигнала на выходе детектора.

Изобразим ВАХ диода, а также временные диаграммы тока диода и напряжения на диоде:

Рисунок 3.3 - График ВАХ диода, временные диаграммы тока диода и напряжения на диоде

Задание №4

Генератор на полевом транзисторе с контуром в цепи стока генерирует гармоническое колебание с частотой . Контур состоит из индуктивности L, емкость C и имеет добротность Q. Крутизна сток-затворной характеристики транзистора в рабочей точке S.

Условие:

1. Изобразить электрическую схему генератора. Записать дифференциальное уравнение и вывести условие самовозбуждения генератора.

2. Определить критические коэффициенты включения .

3. Выбрать значение P, обеспечивающее устойчивую генерацию и рассчитать неизвестный элемент контура.

4. Изобразить качественно процесс установления колебаний в генераторе, указать области нестационарного и стационарного режимов.

Исходные данные:

Индуктивная трехточечная схема;

Решение:

1. Представим принципиальную схему индуктивного трехточечного автогенератора [2]:

Рисунок 4.1 - Автогенератор, собранный по индуктивной трехточечной схеме.

Для составления дифференциального уравнения генератора рассмотрим колебательный контур подробнее, при этом как бы разорвав обратную связь (рисунок 4.2).

Рисунок 4.2 - Колебательный контур автогенератора.

В схеме на рисунке 4.2 R - сопротивление потерь контура.

По законам Кирхгофа и, используя компонентные уравнения элементов запишем систему характеристических уравнений [6] цепи представленной на рисунке 4.2.

. (4.1)

Для решения системы (4.1) не хватает еще одного уравнения. Его мы возьмем воспользовавшись характеристиками транзистора:

. (4.2)

Теперь проведя необходимые подстановки запишем уравнение с одним неизвестным током i.

. (4.3)

Чтобы избавиться от интеграла продифференцируем уравнение (4.3) по времени.

. (4.4)

Обозначим коэффициенты при неизвестном и его производных, как и соответственно при дифференциалах 0-ого, 1-ого, 2-ого и 3-его порядков. Тогда (4.4) примет вид:

. (4.5)

Для определения условия самовозбуждения воспользуемся критерием устойчивости Рауса-Гурвица [2]. В соответствии с этим критерием, для самовозбуждения необходимо и достаточно чтобы выполнялось:

1) ; (4.6)

2) . (4.7)

Подставляя значения коэффициентов , получим условие самовозбуждения автогенератора.

. (4.8)

2. Определим критические коэффициенты включения индуктивности. Для этого проведем в (4.8) некоторые преобразования.

Поскольку индуктивность не отрицательна и не равна 0, то разделим (4.8) на нее.

. (4.9)

Введем величину коэффициента включения индуктивности р:

. (4.10)

Где - полная индуктивность контура. (4.11)

Исходя из (4.10) и (4.11) можно записать:

. (4.12)

Подставим (4.12) в (4.9).

. (4.13)

Как известно - характеристическое сопротивление контура. Т.о. неравенство (4.13) примет вид:

. (4.14)

Разделив (4.14) на получим:

, (4.15)

но это есть добротность контура Q.

. (4.16)

Теперь если учесть, что (4.15), а затем умножить неравенство на , получим окончательное уравнение для вычисления критических коэффициентов включения.

. (4.17)

Используя [3] определим критический коэффициент включения индуктивности:

3. Рассчитаем неизвестный элемент контура (в нашем случае это индуктивность) по следующей формуле:

(4.18)

Подставив исходные данные, получим:

Определим коэффициент усиления усилителя:

Найдём значения индуктивностей L1 и L2 при помощи [3], используя операцию Given:

4. Представим качественный график процесса установления колебаний в автогенераторе (рисунок 4.3):

Рисунок 4.3 - Процесс установления автоколебаний:

1. Нестационарный режим - режим, при котором параметры колебания меняются.

2. Стационарный режим - режим, при котором параметры колебания не меняются.

Задание №5.

Условие:

Аналоговый сигнал S(t) (рисунок 5.1) длительностью подвергнут дискретизации путем умножения на последовательность - импульсов. Интервал дискретизации Т.

Требуется:

1. Рассчитать спектр аналогового сигнала S(t) и построить график модуля спектральной плотности.

2. Определить максимальную частоту в спектре аналогового сигнала , ограничив спектр, использовав один из критериев.

3. Рассчитать интервал дискретизации Т и количество выборок N. Изобразить дискретный сигнал под аналоговым в том же временном масштабе.

4. Определить спектральную плотность дискретного сигнала и построить график модуля под графиком спектра аналогового сигнала и в том же частотном масштабе.

5. Провести дискретное преобразование Фурье (ДПФ), определить коэффициенты ДПФ и построить спектрограмму модуля этих коэффициентов под графиками спектров аналогового и дискретного сигналов и в том же частотном масштабе.

Записать выражение для Z - преобразования дискретного сигнала.

Решение:

Рисунок 5.1 - график исходного сигнала

1.Рассчитаем спектр аналогового сигнала S(t), данный сигнал представляет собой ни четную ни нечетную функцию. Зададим сигнал S(t) аналитически:

(5.1)

Спектральная плотность рассчитывается путем прямого преобразования Фурье [7]:

. (5.2)

где (5.3)

Где и весовые коэффициенты. Подставляя значения с помощью [3] построим график спектральной плотности (рисунок 5.2).

Рисунок 5.2 - график модуля спектральной плотности

2. Определим максимальную частоту в спектре аналогового сигнала по уровню 0,1.

(5.4) . (5.5)

3. Условие выбора интервала дискретизации возьмем из теоремы Котельникова :

. (5.6)

Подставив значения, получим:

Воспользовавшись (5.6) выберем интервал дискретизации:

В этом случае количество выборок определяется следующим образом:

. (5.7)

N = 21;

Теперь, когда мы нашли интервал дискретизации и количество выборок построим график дискретного сигнала, а так же для сравнения в одном масштабе с ним график аналогового (рисунок 5.3):

Рисунок 5.3 - Графики: а) аналогового сигнала;

б) дискретного сигнала.

На рисунке 5.3 в величине выборок отражен весовой коэффициент ? - импульсов дискретизации.

4. Спектр дискретного сигнала, как известно, представляет собой сумму копий спектральных плоскостей исходного аналогового сигнала, подвергнутого дискретизации, сдвинутых на величину частоты следования выборок друг относительно друга [7].

Т. о. Формула спектральной плотности дискретного сигнала примет вид:

. (5.8)

Пользуясь (5.8) построим график при помощи [3]:

Рисунок 5.4 - а) модуль спектральной плотности аналогового сигнала; б) ограниченный спектр аналогового сигнала;

в) спектральная плотность дискретного сигнала;

5. Дискретное преобразование Фурье определяется формулой (5.9) [2]:

. (5.9)

Где: - номер отсчета спектральной плотности; ;

- номер отсчета дискретного сигнала; .

Т. о. по формуле (5.9) и при помощи [3] можно подсчитать значения дискретных отсчетов:

Зная, что выше вычисленные отсчеты следуют через интервалы , величина которых определяется следующим соотношением [2]:

, (5.10)

где: N - количество выборок дискретного сигнала;

Т - период дискретизации;

можно построить спектрограмму модулей этих коэффициентов.

Данную спектрограмму будем строить в одном частотном масштабе с графиками спектров аналогового и дискретного сигналов и расположив ее под ними.

Рисунок 5.5 - а) Спектр аналогового сигнала;

б) Спектральная плотность дискретного сигнала;

в) Спектрограмма модулей коэффициентов ДПФ.

6. Заменив в формуле (5.9) на Z (в данном случае играет роль частоты) прейдем к выражению для Z-преобразования.

. (5.11)

Распишем (5.11) подробнее, при этом заметим, что как видно из рисунка 5.3 отсчеты с номерами от 0 до 8 равны 1, а 9 равен 0. С учетом всего сказанного получим:

. (5.12)

При помощи простых математических преобразований представим (5.12) в виде дробно-рационального выражения:

. (5.13)

Задание №6.

Условие:

Уравнения цифровой фильтрации имеют вид:

(6.1)

Требуется:

1. Составить структурную схему фильтра.

2. Найти передаточную функцию фильтра. Определить полюса передаточной функции и нанести их на - плоскости. Сделать вывод об устойчивости.

3. Рассчитать и построить АЧХ и ФЧХ фильтра.

4. Найти системную функцию фильтра. Определить полюса системной функции и нанести их на - плоскости. Сделать вывод об устойчивости.

5. Рассчитать и построить импульсную характеристику фильтра.

6. Рассчитать и построить выходной сигнал цифрового фильтра, если на вход подаётся дискретный сигнал из задания 5.

Исходные данные:

Решение:

1. Данный фильтр реализовывается с помощью рекурсивного фильтра 1-го порядка. Схема данного фильтра представлена на рисунке 6.1:

Рисунок 6.1 - Рекурсивный фильтр

2. Передаточная функция цифрового фильтра имеет вид:

, (6.2)

где ак, bk коэффициенты уравнения; - интервал дискретизации; - количество элементов задержки в трансверсальной части; - количество элементов задержки в рекурсивной части.

Найдём полюса передаточной функции с помощью формулы:

(6.3)

Для нахождения полюсов воспользуемся [3]:

Для обеспечения устойчивости необходимо и достаточно, чтобы полюса передаточной функции находились в левой полуплоскости комплексного переменного p. Поскольку

- система устойчива.

3. С помощью [3] рассчитаем и построим АЧХ и ФЧХ фильтра:

(6.4)

Для данной передаточной функции с помощью [3] построим АЧХ и ФЧХ фильтра (рисунок 6.2):

Рисунок 6.2 - а) АЧХ фильтра; б) ФЧХ фильтра.

4. Найдем системную функцию фильтра путем замены ePT на Z. Системная функция будет иметь вид:

(6.5)

Устойчивость фильтра оценивается расположением полюсов системной функции на z плоскости. Фильтр устойчив, если полюса системной функции расположены внутри круга единичного радиуса с центром в точке .

Определим полюса системной функции в плоскости Z с помощью [3]:

- т.е. система устойчива.

5. Импульсная характеристика - это реакция цифрового фильтра на воздействие в виде единичного импульса (функция Кронекера). Используя уравнение цифровой фильтрации, получаем:

(6.6)

где

Для данного фильтра импульсная характеристика будет определятся формулой:

(6.7)

График импульсной характеристики представлен на рисунке 6.4:

Рисунок 6.4.-Импульсная характеристика.

6. Графики входного дискретного сигнала и выходного цифрового сигнала (рисунок6.3):

Рисунок 6.3 - а) входной дискретный сигнал; б) выходной цифровой сигнал.

Задание №7

Условие:

Синтезировать согласованный фильтр для данного сигнала.

Требуется:

1. Определить комплексный коэффициент передачи фильтра.

2. Синтезировать структурную схему фильтра.

3. Определить и построить выходной сигнал (под входным).

4. Оценить отношение сигнал/помеха на выходе в зависимости от .

Исходные данные:

Когерентная пачка из радиоимпульсов с прямоугольной огибающей и скважностью равной ,

Рисунок 7.1 - Входной сигнал

Решение:

1. Синтезировать согласованный фильтр удобно при помощи его комплексного коэффициента передачи. Запишем общую формулу для его определения [2]:

. (7.1)

Где - постоянный коэффициент;

- функция, комплексно сопряженная со спектральной плотностью входного сигнала;

- время задержки пика выходного сигнала.

Для существует ограничение - , это связано с физическими принципами работы согласованного фильтра [2]. Однако обычно полагают:

. (7.2)

Из формулы (7.1) видно, что задача сводится к определению спектральной плотности входного сигнала. Для ее определения разобьем входной сигнал на отдельные импульсы, затем определим спектр одного из них, а результат запишем в виде суммы вышеопределенных спектральных плотностей всех составляющих пачки, но сдвинутых по времени на расстояния кратные периоду их следования.

Итак, определим - спектр одиночного радиоимпульса, путем применения свойства [2], в котором говорится, что спектр радиосигнала это есть спектр его огибающей только сдвинутый в область высоких частот (окрестность ).

. (7.3)

Где - спектральная плотность для огибающей одиночного радиоимпульса, смещенная в область ВЧ на .

Запишем аналитическое выражение для огибающей радиоимпульса:

. (7.4)

Определим , для этого применим прямое преобразование Фурье [7].

;

. (7.5)

Представим формулу для , заменив в (7.5) на :

. (7.6)

Т. о. спектральная плотность всей пачки импульсов будет определяться как сумма спектральных плотностей определяемых формулой (7.6), но сдвинутых друг относительно друга на:

. (7.7)

Представим это соотношение, применив теорему сдвига [2]:

. (7.8)

Запишем формулу комплексно сопряженной спектральной плотности входного сигнала, преобразовав (7.8), путем перемены знака мнимой части.

. (7.9)

Подставим (7.6) в (7.9), а полученный результат в (7.1) и проведем некоторые преобразования для удобства ее дальнейшего использования:

(7.10)

2. Т. о. согласованный фильтр можно представить как каскадное соединение двух блоков:

1. согласованный фильтр одиночного радиоимпульса;

2. т. н. синхронный накопитель (многоотводная линия задержки).

Схема такого фильтра представлена на рисунке 7.2.

Рисунок 7.2 - Структурная схема согласованного фильтра для сигнала представленного на рис. 7.1.