Конструирование многомерных регуляторов смесительного бака
p align="left">Рисунок 9 - Реакция второго выхода на возмущения u2(t) 1.3.2 Построение графиков кривой разгона дискретной системы Система в дискретном времени имеет вид: dt=24 c. Зададим , , получим значения на выходах дискретной системы, которые совпадают с расчетом задания в п.4. Таблица 6 Значение выходов дискретной системы |
Возмущение | Реакция выхода системы y(t) | | u1=0.01 u2=0 | y1 y2 10-3 | 0 | 0 | 3.874 | 6.247 | 7.701 | 8.591 | 9.137 | 9.471 | 9.676 | 9.802 | 9.878 | | | | 0 | 0 | -2.548 | -3.523 | -3.896 | -4.038 | -4.093 | -4.114 | -4.122 | -4.125 | -4.126 | | такт | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | | |
Рисунок 10 - Реакция выходов системы на возмущения u (t) 1.3.3 Построение графиков кривой разгона нелинейной системы Данные для построения графиков получены в пункте 1.1.2 Для первого выхода пользуемся таблицей 1. Получившиеся графики можем сопоставить с графиками полученным в пункте 1.3.1, введя поправку на начальное значение параметра Рисунок 11 - Реакция первого выхода на возмущения u1(t) в пункте 1.3.1 Рисунок 12 - Реакция первого выхода на возмущение для линеаризованной системы Легко видеть, что эти график совпадают, что говорит о том, что линеаризация по первому выходу проведена на приемлемом уровне Рисунок 14 - Реакция второго выхода на возмущения u1(t) полученного в пункте 1.3.1 Рисунок 13 - Реакция второго выхода на возмущения для линеаризованной системы В данном случае имеет место погрешность которую можно связать с ошибкой вносимой кусочно - линейной аппроксимации. 1.3.4 Установившиеся состояния системы Вычислить постоянное значение состояния системы в условиях Т.к. установившееся значение предполагает отсутствие динамики, то систему можно записать в следующем виде 1.4 Идентификация многомерной математической модели по данным эксперимента 1.4.1 Активная идентификация Для дискретной формы системы (F, G, C) из пункта 3. 1. провести реализацию системы. Запишем систему в виде: Подавая импульс по первому входу, рассчитаем: Теперь имея экспериментальные данные, сгруппировав их в матрицы H и H1 можем приступить к их обработки. Из собственных векторов от () и () построим: Для проверки идентификации найдем коэффициент передачи системы Коэффициент передачи, вычисленный по исходным матрицам Можно сделать вывод о том, что система идентифицирована, верно 1.4.2 Пассивная идентификация Для дискретной формы системы (F, G, C) из пункта 3. 1. провести пассивную идентификацию системы, предполагая, что вектор входа изменяется соответственно таблице: Таблица 7 Значение вектора входа для пассивной идентификации. |
Такт, n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | | U(n) | 0.01 | 0 | 0 | 0.04 | 0 | 0 | | | 0 | 0.01 | 0.02 | 0 | 0.03 | 0 | | |
Используя матрицы системы в дискретной форме для заданных значений вектора входа, рассчитаем значения вектора выхода Результаты расчета сведем в таблицу: |
Такт, n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | | y(n) | 0.003935 | 0.006321 | 0.012 | 0.023 | 0.026 | 0.016 | | | -0.0026 | 0.022 | 0.053 | 0.0091 | 0.071 | 0.026 | | |
Используя данные эксперимента (Таблица 8) можем приступить непосредственно к определению параметров идентифицированной системы Тогда Для проверки идентификации найдем коэффициент передачи системы Система идентифицирована, верно 2. Конструирование многомерных регуляторов, оптимизирующих динамические свойства агрегата 2.1 Конструирование П. - регулятора, оптимизирующего систему по интегральному квадратичному критерию Регулятор состояния, который оптимизирует систему по критерию: Определяется по соотношениям: P=LR1(A,B,Q,R); При этом Q=R=I Т.к. матрица С. является инвертированной, для образования регулятора выхода нет необходимости конструировать наблюдатель состояния - недосягаемое состояние просто вычисляется по формуле . Следовательно, регулятор выхода имеет вид 2.2 Конструирование компенсаторов заданий и измеряемых возмущений Обозначивши через z заданное значение выхода y и припуская, что , получим Приняв во внимание, что А=В Если при компенсации возмущений и заданий учесть «стоимость» управления, записавши критерий в виде , то компенсаторы (оптимальные) определяются зависимостями Значение выхода при действии возмущения f в системе без компенсаторов при z=0 а также с оптимальным компенсатором. 2.3 Конструирование регулятора с компенсатором взаимосвязей Проверим, или регулятор действительно расцепляет систему, т.е. матрица передаточных функций является диагональной Используя V как новый вход можно далее записать Регулятор выхода можно записать в виде 2.4 Конструирование апериодического регулятора Апериодический регулятор для дискретной системы может быть получен: из условия . Запишем 2.5 Конструирование децентрализованного регулятора Используя форму Ассео, запишем: Следовательно, получим Для определения критерия 2.6 Конструирование надежного регулятора Если матрица G моделирует отказы каналов измерения, то регулятор находится в виде Берем s=0.04 При этом значении выполняются необходимые условия: s> Результат решения уравнения Ляпунова первого типа Коэффициент передачи надежного регулятора Поверим систему с регулятором на устойчивость Следовательно, система является постоянной при любых отклонениях. 2.7 Конструирование блочно-иерархического регулятора Воспользуемся регулятором состояния и проверим или можно создать последовательность регуляторов состояния. ; ; ; ; Рисунок 15 - Иллюстрация монотонного уменьшения величины критерия Рисунок 16 - Схема блочно - иерархического регулятора 2.8 Конструирование регулятора для билинейной модели Билинейный регулятор определяется по следующей зависимости Вводя все компоненты в уравнение, получаем: 2.9 Конструирование регулятора для нелинейной модели Сконструировать нелинейный регулятор, используя начальную неупрощенную модель бака. Расчетное соотношение для регулятора - e=z - x 2.10 Конструирование программного регулятора Используя линеаризованную модель в дискретном времени, записать программу перевода системы из состояния в состояние ; 3. Анализ свойств сконструированной системы с оптимальным П регулятором 3.1 Построить процесс в системе с П. регулятором Для построения процесса графика необходимо пользоваться следующую формулу В итоге получаются следующие графики переходных процессов. Для сравнения приведены переходные процессы для систем без компенсаторов (штрихованная линия) Рисунок 17 - Сопоставление качеств переходного процесса первого и второго выхода с компенсатором и без него. Из графика видно, что система выходит на установившееся значение раньше если на ней стоит компенсатор. 3.2 Вычислить критерий оптимальности в системе Величина критерия с удельным регулятором вычисляется Отклонение параметров на 10 процентов Отклонение параметров на 5 процентов Матрицы чувствительности будут рассчитаны в пункте 3.4: В конечном счете, получаем 3.3 Оценить потерю качества от децентрализации Коэффициент передачи децентрализованного регулятора найден в пункте 2.5 Для определения критерия 3.4 Вычислить чувствительность системы dJ/dA, dJ/dВ, dJ/dС, dJ/dК для системы (А1,В, С), где А1=А+В*К, К=*Р. Матрицы А1 и P (решение уравнения Риккати) Pлп (решение уравнения Ляпунова ) рассчитывались ранее Для расчета матрицы V следует решить уравнение Ляпунова вида: А1*V+V* А1+I=0 Таким образом : ; ; Все необходимые составляющие для расчета чувствительности у нас есть: dJ/dA=2•P•V==; dJ/dВ=2•P•V•=; dJ/dС=2•••P•V+2••K•V=; dJ/dК =2•K•V+2••P•V= 3.5 Анализ робастности системы с надежным регулятором Матрицы отклонения начальной системы То есть аа=0.0081; bb=0.0289; cc=0.004. Подставляя значения, полученные в пункте 2.6 в уравнение Scherzinger найдем из нее новую матрицу Т.к. определенная матрица положительно определенная то сконструированная система робастная поэтом стационарная и при изменении параметров в расчетных диапазонах величина критерия изменяется очень мало. 3.6 Решение обратной задачи конструирования Записав расцеплояющей регулятор в виде
Далее используя соотношение где W - произвольная матрица выбирается из условия S>0 В конечном счете, получаем 4. Результат вспомогательных расчетов 1.Решение уравнения Риккати первого типа Заданы матрицы Сформируем матрицу М Найдем ее собственные значения Выполним преобразование подобия Решение уравнения Риккати 2.Решение уравнения Ляпунова 3. Вычисление матричной экспоненты 4.Опеделение Фробениусовой матрицы 5. Определение Вандермодовой матрицы Выводы Исследован технический объект - смесительный бак. Получен спектр модели: линейная, нелинейная, экспериментальная и аналитическая модель. Проведены эквивалентное аппроксимационое преобразование модели агрегата Исследованы качественные и количественные свойства системы. Разработаны регуляторы управления объектом: П. - регулятор; апериодический регулятор; надежный регулятор; блочно - иерархический регулятор; регулятор для билинейной и для нелинейной модели; программный регулятор; регулятор с компенсатором взаимосвязей. А также компенсаторы возмущений и компенсаторы на задании. Проанализированы процессы в сконструированной системе с регулятором в качественном и количественном отношении (построен процесс в системе с регулятором, вычислен критерий оптимальности, проанализирована робастность, решена обратная задачи конструирования ). На основании данного анализа можно сделать вывод о том, что наиболее подходящим регулятором для рассмотренной системы является оптимальный П. - регулятор. Хотя он и обладает некоторым перерегулированием, имеет небольшую статическую ошибку (при отсутствии компенсатора на задание), однако все эти недостатки компенсируются его простотой в установке и обслуживании. Помимо этого он обладает наименьшим временем переходного процесса, неплохим показателем критерия оптимальности. В силу своей простоты он является более надежным в том плане, что вероятность выхода из строя самого регулятора мала. Литература 1. Стопакевич А.А., Методические указания к практическим занятиям по курсу « Основы системного анализа и теория систем » для бакалавров по автоматики. - Одесса: ОНПУ, 1997. 2. Стопакевич А.А. Сложные системы: анализ, синтез, управление. - Одесса: ОНПУ 2004
Страницы: 1, 2
|