Исследование линейных и нелинейных систем управления
p align="left">Проанализировав полученные данные, можно сделать вывод, что по каналу возмущающего воздействия САР с П-регулятором имеет наименьшее отклонение по амплитуде, но обладает статической ошибкой. У САР с ПИ-регулятором нет статической ошибки, но она имеет наибольшее время регулирования. САР с ПИД-регулятором наиболее быстродействующая.2.3 Оценка запаса устойчивости САРДля оценки запаса устойчивости применим логарифмический критерий. При проектировании САР рекомендуемый запас устойчивости по амплитуде ?L>6 Дб, по фазе ?ц>300.Script 11:>> [Gm1,Pm1]=margin(W1); >> [Gm2,Pm2]=margin(W2); >> [Gm3,Pm3]=margin(W3); >> [20*log10(Gm1),Pm1] ans = Inf 41.6235 >> [20*log10(Gm2),Pm2] ans = Inf 36.7183 >> [20*log10(Gm3),Pm3] ans = Inf 36.0532 Таблица 3 - Запас устойчивости САР |
Регуляторы | ?L | ?ц | | П | | 41.6 | | ПИ | | 36.7 | | ПИД | | 36.1 | | | Проанализировав полученные данные, можно сделать вывод, что необходимым запасом устойчивости и по амплитуде, и по фазе обладают все САР.3 Оценка управляемости и наблюдаемости линейной САР3.1 Анализ САР с П-регулятором3.1.1 Разработка математической модели типа «вход-состояние-выход»Основная передаточная функция САР с П-регулятором была получена в п. 1.3. Она имеет вид:,где ,Порядок характеристического полинома . Для данной САР выбираем вторую управляемую форму или управляемое каноническое представление (УКП). Математическая модель САР описывается следующей системой векторно-матричных уравнений:где Script 12:>> b2=2.397;b1=18.64;b0=5.859; >> a3=336;a2=148.4;a1=39.64;a0=6.859; >> A1=[0 1 0;0 0 1;-a0/a3 -a1/a3 -a2/a3]; >> B1=[0;0;1]; >> C1=[b0/a3 b1/a3 b2/a3]; >> D1=0; >> sys1=ss(A1,B1,C1,D1) a = x1 x2 x3 x1 0 1 0 x2 0 0 1 x3 -0.02041 -0.118 -0.4417 b = u1 x1 0 x2 0 x3 1 c = x1 x2 x3 y1 0.01744 0.05548 0.007134 d = u1 y1 0 Continuous-time model. >> step(sys1);grid Рисунок 9 - Переходная характеристика САР с П-регулятором При исользовании модели «вход-выход» и модели «вход-состояние-выход» были получены абсолютно идентичные переходные характеристики (рисунки 4 и 9), следовательно, модель «вход-состояние-выход» для САР с П-регулятором рассчитана, верно. 3.1.2 Структурная схема САР с П-регуляторомРисунок 10 - Структурная схема САР с П-регуляторомРисунок 11 - Схема s-модели САР с П-регуляторомРисунок 12 - Переходная характеристика САР с П-регуляторомПереходная характеристика, полученная по s-модели САР с П-регулятором с помощью пакета Simulink системы MATLAB совпадает с полученными ранее переходными характеристиками, значит s-модель построена верно.3.1.3 Оценка управляемости САР с П-регуляторомОценку управляемости САР будем проводить с помощью критерия управляемости Калмана. Матрица управляемости имеет следующий вид:Script 13:>> Y1=[B1 A1*B1 A1^2*B1] Y1 = 0 0 1.0000 0 1.0000 -0.4417 1.0000 -0.4417 0.0771 >> rY1=rank(Y1) rY1 = 3 >> dY1=det(Y1) dY1 = -1 Согласно критерию управляемости Калмана исследуемая система полностью управляема, так как ранг матрицы управляемости равен размеру вектора переменных состояния. Определитель матрицы управляемости не равен нулю, значит, она является не вырожденной. Это также означает, что САУ полностью управляема. 3.1.4 Оценка наблюдаемости САР с П-регуляторомОценку наблюдаемости САР будем проводить с помощью критерия наблюдаемости Калмана. Матрица наблюдаемости имеет следующий вид:Script 14:>> H1=[C1; C1*A1; C1*A1^2] H1 = 0.0174 0.0555 0.0071 -0.0001 0.0166 0.0523 -0.0011 -0.0063 -0.0065 >> rH1=rank(H1) rH1 = 3 >> dH1=det(H1) dH1 = 8.5991e-007 Согласно критерию наблюдаемости Калмана исследуемая система полностью наблюдаема, так как ранг матрицы наблюдаемости равен размеру вектора переменных состояния. Определитель матрицы наблюдаемости не равен нулю, значит, она является не вырожденной. Это также означает, что САУ полностью наблюдаема. 3.2 Анализ САР с ПИ-регулятором3.2.1 Разработка математической модели типа «вход-состояние-выход»Основная передаточная функция САР с ПИ-регулятором была получена в п. 1.4. Она имеет вид:,где ,.Порядок характеристического полинома . Для данной САР выбираем вторую управляемую форму или управляемое каноническое представление (УКП). Математическая модель САР описывается следующей системой векторно-матричных уравнений:где Script 15:>> b3=1.089;b2=8.558;b1=3.348;b0=0.2156; >> a4=336;a3=147.1;a2=29.56;a1=4.348;a0=0.2156; >> A2=[0 1 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1;-a0/a4 -a1/a4 -a2/a4 -a3/a4]; >> B2=[0;0;0;1]; >> C2=[b0/a4 b1/a4 b2/a4 b3/a4]; >> D2=0; >> sys2=ss(A2,B2,C2,D2) a = x1 x2 x3 x4 x1 0 1 0 0 x2 0 0 1 0 x3 0 0 0 1 x4 -0.0006417 -0.01294 -0.08798 -0.4378 b = u1 x1 0 x2 0 x3 0 x4 1 c = x1 x2 x3 x4 y1 0.0006417 0.009964 0.02547 0.003241 d = u1 y1 0 Continuous-time model. >> step(sys2);grid Рисунок 13 - Переходная характеристика САР с ПИ-регулятором При исользовании модели «вход-выход» и модели «вход-состояние-выход» были получены абсолютно идентичные переходные характеристики (рисунки 5 и 13), следовательно, модель «вход-состояние-выход» для САР с ПИ-регулятором рассчитана верно. 3.2.2 Структурная схема САР с ПИ-регуляторомРисунок 14 - Структурная схема САР с ПИ-регуляторомРисунок 15 - Схема s-модели САР с ПИ-регуляторомРисунок 16 - Переходная характеристика САР с ПИ-регуляторомПереходная характеристика, полученная по s-модели САР с ПИ-регулятором с помощью пакета Simulink системы MATLAB совпадает с полученными ранее переходными характеристиками, значит s-модель построена, верно.3.2.3 Оценка управляемости САР с ПИ-регуляторомОценку управляемости САР будем проводить с помощью критерия управляемости Калмана. Матрица управляемости имеет следующий вид:Script 16:>> Y2=[B2 A2*B2 A2^2*B2 A2^3*B2] Y2 = 0 0 0 1.0000 0 0 1.0000 -0.4378 0 1.0000 -0.4378 0.1037 1.0000 -0.4378 0.1037 -0.0198 >> rY2=rank(Y2) rY2 = 4 >> dY2=det(Y2) dY2 = 1 Согласно критерию управляемости Калмана исследуемая система полностью управляема, так как ранг матрицы управляемости равен размеру вектора переменных состояния. Определитель матрицы управляемости не равен нулю, значит, она является не вырожденной. Это также означает, что САУ полностью управляема. 3.2.4 Оценка наблюдаемости САР с ПИ-регуляторомОценку наблюдаемости САР будем проводить с помощью критерия наблюдаемости Калмана. Матрица наблюдаемости имеет следующий вид:Script 17:>> H2=[C2; C2*A2; C2*A2^2; C2*A2^3] H2 = 0.0006 0.0100 0.0255 0.0032 -0.0000 0.0006 0.0097 0.0241 -0.0000 -0.0003 -0.0015 -0.0009 0.0000 -0.0000 -0.0002 -0.0011 >> rH2=rank(H2) rH2 =4 >> dH2=det(H2) dH2 = -1.2054e-014 Согласно критерию наблюдаемости Калмана исследуемая система полностью наблюдаема, так как ранг матрицы наблюдаемости равен размеру вектора переменных состояния. Определитель матрицы наблюдаемости не равен нулю, значит, она является не вырожденной. Это также означает, что САУ полностью наблюдаема. 3.3 Анализ САР с ПИД-регулятором3.3.1 Разработка математической модели типа «вход-состояние-выход»Основная передаточная функция САР с ПИД-регулятором была получена в п. 1.5. Она имеет вид:,где ,.Порядок характеристического полинома . Математическая модель данной САР описывается следующей системой векторно-матричных уравнений:где ,,,,.Script 18:>> b4=1.836;b3=16.13;b2=19;b1=5.77;b0=0.396; >> a4=337.8;a3=162.1;a2=40;a1=6.77;a0=0.396; >> v0=b4/a4; >> v1=(b3-v0*a3)/a4; >> v2=(b2-v0*a2-v1*a3)/a4; >> v3=(b1-v0*a1-v1*a2-v2*a3)/a4; >> v4=(b0-v0*a0-v1*a1-v2*a2-v3*a3)/a4; >> A3=[0 1 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1;-a0/a4 -a1/a4 -a2/a4 -a3/a4]; >> B3=[v1;v2;v3;v4]; >> C3=[1 0 0 0]; >> D3=v0; >> sys3=ss(A3,B3,C3,D3) a = x1 x2 x3 x4 x1 0 1 0 0 x2 0 0 1 0 x3 0 0 0 1 x4 -0.001172 -0.02004 -0.1184 -0.4799 b = u1 x1 0.04514 x2 0.03394 x3 -0.00466 x4 -0.001521 c = x1 x2 x3 x4 y1 1 0 0 0 d = u1 y1 0.005435 Continuous-time model. >> step(sys3);grid Рисунок 17 - Переходная характеристика САР с ПИД-регулятором При исользовании модели «вход-выход» и модели «вход-состояние-выход» были получены абсолютно идентичные переходные характеристики (рисунки 7 и 17), следовательно, модель «вход-состояние-выход» для САР с ПИД-регулятором рассчитана, верно. 3.3.2 Структурная схема САР с ПИД-регуляторомРисунок 18 - Структурная схема САР с ПИД-регуляторомРисунок 19 - Схема s-модели САР с ПИД-регуляторомРисунок 20 - Переходная характеристика САР с ПИД-регуляторомПереходная характеристика, полученная по s-модели САР с ПИД-регулятором с помощью пакета Simulink системы MATLAB совпадает с полученными ранее переходными характеристиками, значит s-модель построена, верно.3.3.3 Оценка управляемости САР с ПИД-регуляторомОценку управляемости САР будем проводить с помощью критерия управляемости Калмана. Матрица управляемости имеет вид (15):Script 19:>> Y3=[B3 A3*B3 A3^2*B3 A3^3*B3] Y3 = 0.0451 0.0339 -0.0047 -0.0015 0.0339 -0.0047 -0.0015 0.0005 -0.0047 -0.0015 0.0005 -0.0000 -0.0015 0.0005 -0.0000 -0.0000 >> rY3= rank(Y3) rY3 = 4 >> dY3=det(Y3) dY3 = -1.6937e-014 Согласно критерию управляемости Калмана исследуемая система полностью управляема, так как ранг матрицы управляемости равен размеру вектора переменных состояния. Определитель матрицы управляемости не равен нулю, значит, она является не вырожденной. Это также означает, что САУ полностью управляема. 3.3.4 Оценка наблюдаемости САР с ПИД-регуляторомОценку наблюдаемости САР будем проводить с помощью критерия наблюдаемости Калмана. Матрица наблюдаемости имеет следующий вид:Script 20:>> H3=[C3;C3*A3;C3*A3^2;C3*A3^3] H3 = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 >> rH3=rank(H3) rH3 = 4 >> dH3=det(H3) dH3 = 1 Согласно критерию наблюдаемости Калмана исследуемая система полностью наблюдаема, так как ранг матрицы наблюдаемости равен размеру вектора переменных состояния. Определитель матрицы наблюдаемости не равен нулю, значит, она является не вырожденной. Это также означает, что САУ полностью наблюдаема. 1 4 Анализ нелинейной САР4.1 Описание нелинейной САРCтруктурная схема нелинейной САР представлена на рисунке 21.Рисунок 21 - Структурная схема нелинейной САРРоль АР выполняет ПИ-регулятор с передаточной функцией, полученной в п. 1.4:.Нелинейное звено - звено с насыщением (ограничением), статическая характеристика звена изображена на рисунке 22.Рисунок 22 - Статическая характеристика нелинейного элементаПараметры звена с насыщением: .4.1 Оценка возможности возникновения автоколебанийДля оценки возможности и устойчивости автоколебаний в нелинейной САР по методу Гольдфарба необходимо линеаризовать систему. Применим к нелинейному элементу гармоническую линеаризацию. Тогда передаточная функция звена с насыщением будет иметь вид:где , при , т. е. .Таким образом, передаточная функция нелинейного элемента принимает вид:.Условие возникновения автоколебаний:илигде , - передаточная функция линейной части разомкнутой САР с ПИ-регулятором (см. п. 1.4).Уравнение (19) решаем графически. Для этого необходимо построить на одной комплексной плоскости годограф Найквиста линейной части и годограф Гольдфарба .Script 21:>> A=0.001:0.001:5; >> Wnon=(2./pi).*(asin(2.4./A)+(2.4./A).*sqrt(1-5.76./A.^2)); >> Z=-1./(Wnon); >> Re=real(Z); >> Im=imag(Z); >> w=0.1:0.01:1; >> W2=(b3*(j*w).^3+b2*(j*w).^2+b1*(j*w)+b0)./ ... (a4*(j*w).^4+a3*(j*w).^3+a2*(j*w).^2+a1*(j*w)); >> re=real(W2); >> im=imag(W2); >> plot(re,im,Re,Im);grid Построенные в результате выполнения Script 21 годографы приведены на рисунке 23. На рисунке 24 показана увеличенно область, в которой годографы могут пересекаться. Видно, что годографы не пересекаются, значит автоколебания в системе невозможны. Рисунок 23 - Годографы линеаризованной САР Рисунок 24 - Годографы линеаризованной САР (увеличенно) 4.2 Моделирование нелинейной САР в SimulinkДля подтверждения сделанных выводов построим модель САР в Simulink. Схема модели изображена на рисунке 25, переходная характеристика, полученная с помощью этой модели - на рисунке 26.Рисунок 25 - Схема s-модели нелинейной САРРисунок 26 - Переходная характеристика нелинейной САРОчевидно, что автоколебаний в системе нет, значит, расчеты и вывод о том, что в системе невозможны автоколебания, были сделаны верно.ЗаключениеВ ходе выполнения курсового проекта был произведен анализ объекта регулирования, построены кривая разгона ОР.В результате проведения необходимых расчетов были определены оптимальные параметры настройки П, ПИ, ПИД-регуляторов, запас устойчивости систем, оценено качество переходных процессов САР с П, ПИ, ПИД-регуляторами. Также был проведен анализ наблюдаемости и управляемости САР: система со всеми тремя регуляторами оказалась полностью наблюдаемой и управляемой.Для случая, когда регулирующий орган имеет нелинейную характеристику был проведен анализ на возможность возникновения автоколебаний в нелинейной системе регулирования методом Гольдфарба. Установлено, что автоколебания в системе невозможны. Невозможность автоколебаний подтверждена моделированием системы в Simulink.Список использованных источников1. Линейные и нелинейные системы управления: Методические указания и задания на курсовой проект по курсу «Теория управления» для студентов дневной и заочной форм обучения специальности 2102 - Автоматизация технологических процессов и производств / Составители С. Г. Денисенко, Ю. Е. Кичкарь. Кубан. гос. технол. ун-т; - Краснодар: Изд-во КубГТУ, 2000. - 22 с. 2. MATLAB 6/6.1/6.5 + Simulink 4/5. Основы применения / Дьяконов В. П. М.: СОЛОН-Пресс, 2004. 768 с.
Страницы: 1, 2
|
|