Динамический синтез систем автоматического управления
где лi - вещественная часть полюса;nj - вещественная часть нуля.В данной работе близко расположенные нули и полюса отсутствуют.Оценка точности системыТочность СУ оценивается в статическом режиме - в режиме, соответствующем окончанию переходного процесса (t>).Анализ точности начинается с передаточной функции замкнутой системы по ошибке ФЕ(s). [1, § 8.3]Эту передаточную функцию разлагаем в ряд:Где сi - коэффициенты ошибки.Найдем выражения для вычисления первых двух коэффициентов ошибки и занесем в табличку.Таблица 1.7|
| С0 | С1 | | выражение для ошибки | 0 | | | Значение ошибки | 0 | 0.008 | | |
Рассчитаем установившуюся ошибку системы для заданных в ТЗ сигналов. Тогда для входного сигнала получаем установившуюся ошибку: Для входного сигнала с постоянной скоростью, где А=6В/с, установившаяся ошибка: В Установившуюся ошибку для гармонического сигнала вида рассчитаем по следующей формуле: , (1.19) где - заданная частота, -модуль частотной передаточной функции по ошибке, А0=1В- амплитуда входного сигнала, - аргумент частотной передаточной функции по ошибке. . Поскольку частота выходного сигнала (ошибки) совпадает с частотой входного сигнала, найдем NE и цE на частоте . Определим частоту гармонического входного сигнала , для которой амплитуда установившихся колебаний на выходе усилителя мощности равна 110В при амплитуде входного сигнала 1В. определим по графику АЧХ “вход-выход УМ” (Рис. 1.19). Получаем, что w0=11,215. Найдем NE частотной передаточной функции по ошибке. Выделим вещественные и мнимые части: Модуль частотной передаточной функции по ошибке: N(w0)=0.1 Определим аргумент частотной передаточной функции по ошибке: ; . Подставляя найденные значения в формулу (1.19) получим установившуюся ошибку при гармоническом входном сигнале: 2. Отработка типовых входных сигналов2.1 Единичная ступенька2.1.1 Переходная функция по выходу системы Известно несколько способов расчета реакции системы на входные сигналы. В данной работе используем метод преобразований по Лапласу. Запишем переходную функцию системы по выходу системы при входном воздействии X(t) = 1(t) - изображение по Лапласу входного единичного сигнала. Переходная функция h(t) определяется по формуле: (2.1) Найдем переходную функцию по выходу системы: ; (2.2) Начальные и конечные значения переходной функции находятся по формулам: (2.3) Начальное и конечное значение переходной функции по выходу системы: (2.4) (2.5) Т.е. конечное значение переходной характеристики системы по выходу системы зависит только от коэффициентов усиления звеньев. Найдем переходную функцию по выходу ДОС: ; (2.6) По формулам (2.3) найдем начальное и конечное значение переходной функции по выходу ДОС: (2.7) (2.8) Т.е. переходная характеристика системы по выходу ДОС не зависит от параметров системы. Реакция системы представлена на Рисунке 1.14 (п. 1.3.5). Найдем переходную функцию по выходу УМ [приложение 2]: ; (2.9) По формулам (2.3) найдем начальное и конечное значение переходной функции по выходу системы: (2.10) (2.11) Т.е. начальное значение переходной характеристики системы по выходу УМ зависит не только от коэффициентов УМ и КУ системы, а также от частот сопряжений w2 и wb. 2.1.2 Переходные характеристики системы По формуле (2.2) построим переходный процесс по выходу системы.Рисунок 2.1 Переходная характеристика по выходу системы hmax=0.105, hуст=0,087, тогда, Определим время переходного процесса tpпостроив “коридор”, равный , из Рисунка 2.1 определяем, что tp=0.151сПеререгулирование и время переходного процесса по выходу ДОС соответственно:, tp=0.147 с.Рисунок 2.4 Переходная характеристика системы по выходу УМ2.1.3 Сравнение переходных характеристикОпределенные по переходным характеристикам прямые показатели качества, для сравнения представим в табл. 2.2 вместе с оценками, полученными в пункте 1.4.4.Таблица 2.2 |
| по выходу системы | по выходу ДОС | Оценки по ВЧХ | Корневые оценки | | ,% | 19,5 | 18,8 | 26,704 | 4,053 | | tP, с | 0,151 | 0,147 | 0.048 | 0,146 | | |
По данным таблицы можно сделать вывод, что постоянная времени датчика обратной связи незначительно влияет на качество переходного процесса. Показатели качества, полученные по переходным характеристикам, по ВЧХ и корневым оценкам, отличаются. Это объясняется тем, что получаем оценку, а не само значение. Запишем все значения в таблицу для наглядности. Таблица 2.3 |
| | графически | аналитически | | вход-выход системы | h(0) | 0 | 0 | | | h(?) | 0,087 | 0,087 | | вход-выход ДОС | h(0) | 0 | 0 | | | h(?) | 1 | 1 | | вход-выход УМ | h(0) | 55472,575 | 55472,575 | | | (?) | 0 | 0 | | |
Сравнивая начальные и конечные значения переходных характеристик по всем выходам, определенные аналитически по передаточным функциям в пункте 2.1.1, с их расчетными значениями, мы видим, что они совпадают. 2.1.4 Величина ступенчатого сигналаОпределим величину Х0 ступенчатого сигнала, при котором система работает в зоне линейности усилителя мощности. Допустимая величина входного сигнала ограничена напряжением насыщения усилителя мощности, равным 110 В. Наибольшее значение выхода УМ достигается при t = 0. Допустимую величину "ступеньки" Х0 определим из пропорции:; Подставляя значения, получаем.Величина Х0 = 0,002В.2.2 Сигнал с постоянной скоростьюРассчитаем и построим график ошибки системы при отработке входного сигнала с постоянной скоростью, вида:X(t) = Аt, где А=6 В/с. Изображение по Лапласу сигнала: , Переходная функция по ошибке примет вид: ; --- график ошибки при отработке входного сигнала с постоянной скоростью; график вынужденной (установившейся) составляющей ошибки при отработке входного сигнала с постоянной скоростью. Рисунок 2.5 Интервал времени, на котором практически (с точностью 5%) устанавливается вынужденный режим определим по рисунку 2.5. Таким образом, tв=0.13 с. Время, за которое практически устанавливается вынужденный режим, tв=0.13с меньше, чем время регулирования tp=0.147c. 2.3 Гармонический сигнал2.3.4 Определение частоты гармонического сигналаОпределим частоту гармонического сигнала по АЧХ замкнутой системы по выходу УМ (п. 1.4.2).Из Рис. 1.19 следует, что значение частоты0 =11.823-1.Таким образом, частота гармонического входного сигнала, при которой амплитуда установившихся колебаний на выходе УМ равна 110В, при амплитуде входного 1В, равна 11.823-1.2.3.2 График реакции системы по выходу ДОС при подаче гармонического сигнала на вход системыВходной сигнал и его изображение по Лапласу имеют вид:X(t) = sin(0t), (2.11). Реакцию системы на гармонический входной сигнал по выходу ДОС определим по формуле: На Рисунке 2.6 представлен график реакции на входное гармоническое воздействие по выходу ДОС. реакция по выходу ДОС ----- входное гармоническое воздействие Рисунок 2.6 2.3.3 Амплитудно-фазовые искажения отработки входного сигналаАмплитудные искажения отработки входного сигнала определим по формуле: где - максимальное значение амплитуды выходного сигнала;- максимальное значение амплитуды входного сигнала;и определим по графику вынужденной составляющей сигнала по выходу ДОС (Рис. 2.6) =1,083, =1 Подставляя значения, получаем: Определим амплитудные искажения по ЛАЧХ разомкнутой системы на частоте w0. По Рис. 1.21 на частоте w0=11,823с-1 Фазовые искажения отработки входного сигнала определяются по формуле:.где = 0.011 с - временной сдвиг между входным сигналом и сигналом ДОС, определено по Рис. 2.6. и - по ЛФЧХ (рис 1.21) отличаются незначительно, что можно объяснить округлениями при вычислении.3. Область устойчивостиРассчитаем и построим границу области устойчивости на плоскости параметров «постоянная времени корректирующего устройства Тa -коэффициент усиления разомкнутой системы К». Построим область устойчивости c помощью критерия Гурвица.Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид: (3.1)Тогда оставим переменными 2 параметра: K и Т2.Получим следующие коэффициенты:Для нахождения системы на границе устойчивости должны выполняться следующие условия:3) одинаковость знака всех коэффициентов 4) для системы 5 порядка определитель 4=0Решая уравнение в пакете MathCad, [приложение 3]получим следующий график:Рисунок 3.1 Область устойчивостиТочка Kкр, найденная в пункте 1.4.3 практически совпадает с точкой, полученной по графику. Значение коэффициента, соответствующее расчетным параметрам находится в зоне области устойчивости. Т.е. при данных параметрах система устойчива. Небольшая погрешность в расчетах возникает из-за округлений.4. Анализ системы с учетом нелинейности 4.1 Определение автоколебаний в системеДля определения возможности возникновения автоколебаний воспользуемся методом гармонической линеаризации. Суть метода заключается в замене нелинейного элемента эквивалентным линейным. Признак эквивалентности - одинаковость преобразования гармонического входного сигнала. Эквивалентный линейный элемент характеризуется эквивалентным комплексным коэффициентом усиления.Переход к эквивалентному линейному элементу позволяет исследовать систему частотными методами (можно определить возможность возникновения в системе автоколебаний, а также их параметры).В системе присутствует симметричная однозначная нелинейность типа “насыщение”. Рисунок 4.1, где (4.1)эквивалентный комплексный коэффициент усиления;А- амплитуда автоколебаний.Для нелинейности типа насыщения , а Рассчитаем ЭККУ нелинейного элемента с данными параметрами.Xвых=f(Xвх)(4.2)Воспользуемся частотным методом анализа симметричных автоколебаний.В замкнутой системе имеют место незатухающие колебания управляемой величины, при условии: - условие существования симметричных автоколебанийНа комплексной плоскости строим . На этой же плоскости по выражению строится годограф инверсного ЭККУ.В системе возникнут автоколебания управляемой величины, если годограф Найквиста и годограф инверсного ЭККУ пересекутся. Передаточная функция линейной части системы имеет вид: ; |
w, | P(w) | Q(w) | | 1 | -0.285 | -3.252 | | 10 | -0.122 | 0.189 | | 100 | -0.0070 | -0.0073 | | | 0 | 0 | | | Рисунок 4.2Из рисунка 4.2 видно, что годографы не имеют точек пересечения, следовательно, в системе отсутствуют автоколебания.4.2 Влияние коэффициента усиления разомкнутой системы на условие возникновения автоколебанийВ замкнутой системе будут возникать автоколебания, если годограф Найквиста будет проходить через точку (-1;j0), т.е. система будет находиться на границе устойчивости. Граница устойчивости будет достигаться при коэффициенте усиления системы, равного критическому, т.е. при К=Ккр=431с-1.4.3 Анализ абсолютной устойчивости положения равновесия системы по критерию ПоповаЕсли замкнутая система состоит из устойчивой линейной части и одного безынерционного нелинейного элемента со статической характеристикой, расположенной в секторе от 0 до К, то достаточным условием устойчивости положения равновесия системы в начале координат является следующее:,где q- произвольное число, использованное для доказательства критерияК-коэффициент наклона прямой, ограничивающей сектор расположения статической характеристики нелинейного элемента.Преобразуем АФЧХ линейной части системы, домножив мнимую часть на w.Формулировка критерия: для абсолютной устойчивости положения равновесия системы достаточно, чтобы годограф линейной преобразованной части системы располагался справа от прямой ПоповаТ. к. линейная часть системы устойчива, то критерий Попова можно применять напрямую. Вещественная и мнимая части преобразованной частотной передаточной функции имеют вид: Таблица 4.2|
w, | P(w) | Q(w) | | 0 | -0,289 | -3,286 | | 274.36 | -0.0026 | 0 | | 852.16 | 0 | 0.135 | | | 0 | 0 | | | Рисунок 4.3Из Рисунка 4.3 видно, что через точку нельзя провести прямую, такую, что преобразованная АФЧХ лежала бы справа от этой прямой.Следовательно, для системы характерна абсолютная неустойчивость положения равновесия.Заключение
В результате проведения синтеза была скорректирована система, удовлетворяющая требованиям технического задания. Соответствие приведено ниже в таблице. Таблица |
Параметр | Техническое задание | Скорректированная система | | Перерегулирование | не более 20% | 18,8% | | Время регулирования | не более 0,25с | 0,147 | | |
Список использованной литературы 1. Бесекерский В.А., Попов Е.П. “Теория систем автоматического регулирования” -- М.: Наука, 1972. 2. Зырянов Г.В., Кощеев А.А. “Динамический синтез систем автоматического управления”. Учебное пособие по выполнению курсовой работы.- Челябинск, 2001. 3. Павловская О.О. “Лекции по курсу ТАУ”
Страницы: 1, 2, 3
|
|