Большая База Данных Рефератов - Динамический синтез систем автоматического управления

Динамический синтез систем автоматического управления

Традиционно наклон асимптоты берется равным -20дБ/дек, поскольку, чем больше наклон асимптоты, тем труднее обеспечить хорошие динамические свойства системы.

3 участок - высокочастотный. Лучше иметь возможно больший наклон высокочастотных асимптот, что уменьшит требуемую мощность используемых органов.

Построение низкочастотного участка

Низкочастотный участок строится с использованием требований к качеству системы в установившемся режиме.

Чтобы гармонический входной сигнал воспроизводился системой с ошибкой, не превышающей m, низкочастотный участок ЛАЧХ желаемой системы должен проходить выше контрольной точки Ак(к, Lк)

Первые две асимптоты располагаются так, что через контрольную точку Ак проходит первая асимптота. При этом коэффициент усиления будет иметь минимальную возможную величину, равную предельному значению, что является благоприятным.

с-1.

Однако частота точки пересечения второй асимптоты с осью нуля децибел w0 будет значительно больше минимального. Это является нежелательным, т. к. вся ЛАХ будет сдвигаться в область высоких частот.

Таким образом, мы сдвигаем первую частоту сопряжения и совмещаем ее с частотой wа. Отсюда находим первую постоянную времени желаемой ЛАХ

Для того, чтобы реальная ЛАХ не заходила в запретную область при w=wk, приподнимаем ЛАХ на 3 дБ.

Построение среднечастотного участка.

Среднечастотный участок определяет устойчивость, запасы устойчивости и качество переходного процесса. Данный участок характеризуется двумя параметрами: частотой среза и наклоном асимптоты. Чем больше частота среза, тем выше быстродействие системы, тем меньше время регулирования tp. Наиболее целесообразно брать наклон асимптоты -20 дБ/дек, так как чем больше наклон асимптоты, тем сложнее обеспечить хорошие динамические свойства системы.

Т.к. заданы прямые показатели качества, то воспользуемся методом Солодовникова В.В. Для нахождения используем готовые номограммы.

;

Выбираем частоту среза

Чем больше wc, тем более быстродействующая будет система; чем меньше wc, тем проще корректирующее устройство.

Выбираем wc=0.9wп=

На оси logw отмечаем точку, соответствующую частоте среза wc, и через нее проводим прямую с наклоном -20дБ/дек. Эта прямая будет среднечастотной асимптотой желаемой ЛАХ.

Избыток фаз определяем в соответствии с заданным перерегулированием. Значение L1 находим из номограммы, для ; L1=25дБ.

Среднечастотный участок проводим вправо до достижения L1=-25дБ. Это значение достигается при logw3>logwc дек. Поэтому совмещаем частоту w3 с частотой wс, для упрощения корректирующего устройства. Избыток фаз незначительно уменьшится, но это незначительно повлияет на перерегулирование системы.

Левая граница определяется сопряжением среднечастотного и низкочастотного участков. Из Рисунка видно, что сопряжение участков происходит при logw2=1,42 дек. Следовательно, частота сопряжения w2= 26,303с-1.

Высокочастотные асимптоты желаемой ЛАЧХ выполняем параллельными высокочастотным асимптотам ЛАЧХ исходной системы. То есть, на частоте wс наклон становится -80дБ/дек.

Желаемая ЛАХ представлена на миллиметровке.

Корректирующие звенья могут вводиться в систему различными способами: а) последовательно; б) параллельно; в) в виде местной обратной связи.

В данной работе КУ включается последовательно, т. к. в маломощных системах нецелесообразно применение корректирующих устройств, сложность моделей которых соизмерима со сложностью моделей всей системы. Простота - достоинство ПКУ. Но есть и недостаток - эффект коррекции уменьшается с течением времени эксплуатации системы, что связано с изменением элементов параметров системы из-за процессов старения и износа. Поэтому при использовании ПКУ предъявляются жесткие требования к стабильности параметров элементов системы.

Определим передаточную функцию корректирующего устройства последовательного типа по формуле:

Получим ПФ корректирующего устройства и определим параметры:

где ,

где

Структурная схема скорректированной системы примет вид

Рисунок 1.13 - Структурная схема скорректированной системы

ЛАХ корректирующего устройства получается при вычитании исходной ЛАХ из желаемой (рисунок на миллиметровке).

Проверим, соответствует ли система с корректирующим устройством требованиям ТЗ.

Определим ошибку системы.

Относительную динамическую ошибку системы определим как в п. 1.1 по формуле:

Передаточная функция разомкнутой системы:

(1.10)

Частотная передаточная функция разомкнутой системы:

Тогда, модуль частотной передаточной функции:

Подставляя значение щk в формулу для , находим

Относительная динамическая ошибка системы 1,6%, следовательно, скорректированная система удовлетворяет требованиям ТЗ.

Рассмотрим, удовлетворяет ли исходная система требованию по качеству переходного процесса: время регулирования tp- не более 0.25 с, перерегулирование - не более 20%.

Для проверки величин и tp построим график переходной характеристики исходной системы по выходу ДОС:

где - передаточная функция замкнутой системы по выходу ДОС.

Рисунок 1.14 - График переходной характеристики

где hmax=1,188 - максимальное значение регулируемой величины;

=1- установившееся значение регулируемой величины в результате завершения переходного процесса.

Перерегулирование скорректированной системы удовлетворяет ТЗ.

Определим время переходного процесса tp:

построив “коридор” с величину , из Рисунка 1.14 определяем, что tp=0.147 с.

Временя регулирования tp удовлетворяет требованию ТЗ.

1.4 Анализ скорректированной системы в частотной области

1.4.1 Рассчитаем и построим ЛАЧХ и ЛФЧХ скорректированной разомкнутой системы

Используем передаточную функцию разомкнутой системы (1.10)

Для получения частотной передаточной функции заменим S на jw и преобразуем

Вещественная и мнимая части соответственно:

(1.11) ; (1.12)

Тогда

ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы представлены ниже.

ЛАЧХ скорректированной системы сместилась вправо, следовательно, необходимые требования по точности выполняются, запасы устойчивости увеличились по сравнению с системой с пропорциональным регулятором.

-- ЛАЧХ и ЛФЧХ скорректированной системы

- - ЛАЧХ и ЛФЧХ системы с пропорциональным регулятором

Рисунок 1.15 ЛАЧХ и ЛФЧХ систем

Построим график АФЧХ по имеющимся формулам (1.11) и (1.12) и сравним его с графиком системы с пропорциональным регулятором. Он представляет собой годограф Найквиста, поэтому сделаем ниже дополнительно выводы об устойчивости системы.

Составим таблицу, изменяя w от 0 до ?:

Таблица 1.3

W,	P(w)	Q(w)
0	-10,604	-?
852,2	0	5,806*10-3
274,2	-0,094	0
	0	0

-- годограф скорректированной системы

- - годограф системы с пропорциональным регулятором

Рисунок 1.16 - Годограф Найквиста

Характеристическое уравнение имеет вид:

Все корни характеристического уравнения, кроме одного нулевого, левые, следовательно, разомкнутая система на границе устойчивости. Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф Найквиста, дополненный на участке разрыва дугой бесконечно большого радиуса, не охватывал особу точку (-1; j0). Данное условие выполняется, значит, замкнутая система устойчива.

Построим годограф Михайлова для системы.

Передаточная функция замкнутой системы:

(1.13)

Функция Михайлова имеет вид:

(1.14)

Выполним замену S на jw и выделим вещественную и мнимую части соответственно.

;

Найдем значения X(w) и Y(w), изменяя при этом w от 0 до ?:

Таблица 1.4

w,	X(w)	Y(w)
0	85.227	0
26.125	0	114.613
79.717	-648.966	0
275.355	0	-13120
816.259	6.473*106	0

-- скорректированной системы

- - системы с пропорциональным регулятором

Рисунок 1.17 годограф Михайлова для замкнутой системы

Годограф Михайлова начинается на вещественной положительной оси и при изменении частоты w от 0 до + последовательно проходит 5 квадрантов против часовой стрелки, нигде не обращаясь в ноль. Это свидетельствует об устойчивости замкнутой системы.

1.4.2 АЧХ “вход- выход системы”, “вход- выход ДОС”, “вход- выход УМ”

Рассчитаем и построим для замкнутой системы АЧХ “вход- выход системы”. Для этого воспользуемся передаточной функцией замкнутой системы (1.13). Заменим s на jw и преобразуем данное выражение:

Выделим вещественную и мнимую части соответственно:

Находим

(1.15)

График АЧХ “вход- выход системы” представлен ниже.

Рассчитаем и построим АЧХ “вход- выход ДОС”. Запишем передаточную функцию замкнутой системы по выходу ДОС, которая имеет вид:

Преобразуем данное выражение:

Вещественная и мнимая части соответственно:

(1.16)

Получим модуль передаточной функции замкнутой системы по выходу ДОС:

(1.17)

--- АЧХ «вход- выход ДОС»,

- - - АЧХ «вход- выход системы».

Рисунок 1.18 АЧХ

Рассчитаем и построим АЧХ “вход- выход УМ ”. Передаточная функция замкнутой системы по выходу УМ имеет вид:

(1.18)

Вещественная и мнимая части соответственно:

Модуль передаточной функции замкнутой системы по выходу УМ:

Рисунок 1.19 АЧХ вход-выход УМ

1.4.3 Частота среза разомкнутой системы, запасы устойчивости, критический коэффициент усиления, показатель колебательности
Частота среза и запасы устойчивости разомкнутой системы определяются по ЛАЧХ и ЛФЧХ. Определим их из рисунка 1.15

ЛАЧХ пересекает ось в точке lg(w)=1.614 дек. Тогда wср=41.072 с-1

ЛФЧХ пересекает уровень -180 при lg(w)=2.438 дек. Тогда wкр=274.35 с-1

Запас устойчивости по амплитуде найдем по годографу Найквиста:

Где hзап- расстояние до точки пересечения годографа Найквиста с действительной осью. (рис. 1.16)

дБ

Запас устойчивости по фазе определим по рисунку 1.15:

цзап=ц(wcp)+1800

цзап=54,7330

Критический коэффициент найдем с использованием критерия Гурвица:

Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид:

(3.1)

Тогда оставим переменным параметр: K.

Получим следующие коэффициенты:

Для нахождения системы на границе устойчивости должны выполняться следующие условия:

1) одинаковость знака всех коэффициентов

2) для системы 5 порядка определитель 4=0

Решая уравнение в пакете MathCad получим следующие результаты:

Показатель колебательности определим по формуле:

и N(0) находим по АЧХ замкнутой системы по выходу ДОС

N(0)=1

Nmax=1.239,

Следовательно.

Сравним результаты с результатами, полученными в пункте 1.2.3

Таблица 1.5 - Сравнительная характеристика полученных результатов

	Lзап, дБ	, o	Ккр	М		tp, с
С регулятором	0,409	0,75	93,3	75,214	95	22,72
С коррекцией	10,6	54,733	431	1.239	18,8	0,147

1.4.4 Оценки прямых показателей качества

Оценим у и tp по вещественной частотной характеристике системы.

Построим вещественную частотную характеристику (ВЧХ) “вход - выход ДОС”. Для этого используем выражение (1.16).

Рисунок 1.20 ВЧХ вход - выход ДОС

Склонность системы к колебаниям тем больше, чем выше пик у вещественной характеристики.

Оценим у по формуле:

где максимальное значение ВЧХ;

минимальное значение ВЧХ;

P(0)- значение ВЧХ при w=0.

Подставляем значения и находим: .

tp оценим по формуле:

С помощью трассировки определили wn= 65,5 c-1.

Следовательно tp>0.048c-1.

ЛЧХ “вход- выход ДОС”

Для построения найдем L(w), используя выражение (1.15):

ЛФЧХ “вход- выход ДОС” построим по формуле

Подставляя ранее полученные выражения Q(w) и P(w) (1.16), получим

Рисунок 1.21 ЛАЧХ и ЛФЧХ вход- выход ДОС

Найдем нули и полюса замкнутой системы “вход- выход ДОС” и изобразим их на комплексной плоскости.

Корни полинома числителя называют нулями передаточной функции, а корни полинома знаменателя - полюсами.

Найдем их с помощью пакета MathCad [приложение 1].

Таблица 1.6- Нули и полюса замкнутой системы «вход- выход ДОС»

нули	-26.316	-500
полюса	-610.77+159.74j	-610.77-159.74j	-234.44	-26.175,89-j25.657	-26.175+j25.657

Рисунок 1.22 Нули и полюса на комплексной плоскости

Вычислим корневые оценки прямых показателей качества [1.§ 8.6].

Степень устойчивости з - это расстояние от мнимой оси до наиболее близко расположенного к ней полюса.

Ближайшим к мнимой оси является вещественный полюс, значит з - апериодическая степень устойчивости. .

Ближайшие к мнимой оси полюса называются доминирующими.

Доминирующие полюса дают составляющей переходного процесса затухание наиболее медленно. Поэтому по з можно получить оценку времени регулирования:

Колебательность ,

где в- мнимая часть, б- вещественная часть доминирующих комплексно-сопряженных полюсов.

Доминирующие комплексно-сопряженные полюса: -26.175± j25,657.

Удаленные от начала координат полюса увеличивают перерегулирование

Получаем

Определим влияние нулей на оценки прямых показателей качества.

Близко расположенные нуль и полюс взаимно компенсируются. Скомпенсированный нулем полюс не участвует в оценке прямых показателей качества.

Страницы: 1, 2, 3

Меню

Динамический синтез систем автоматического управления