Беспроводные телекоммуникационные системы

2. Системы сложных сигналов для телекоммуникационных систем

2.1 Спектры сигналов

Спектр сигнала s(t) определяется преобразованием Фурье

В общем случае спектр является комплексной функцией частоты щ. Спектр может быть представлен в виде

,

где |S(щ)| - амплитудный, а ц(щ) - фазовый спектр сигнала s(t).

Спектр сигнала обладает следующими свойствами:

1. Линейность: если имеется совокупность сигналов s1(t), s2(t), …, причем s1(t)S1(щ), s2(t)S2(щ), …, то сумма сигналов преобразуется по Фурье следующим образом:

,

где ai - произвольные числовые коэффициенты.

2. Если сигналу s(t) соответствует спектр S(щ), то такому же сигналу, смещенному на t0, соответствует спектр S(щ) умноженный на e-jщt0 s(t-t0)S(щ)e-jщt0.

3. Если s(t)S(щ), то

4. Если s(t)S(щ) и f(t)=ds/dt, то f(t)F(щ)=jщS(щ).

5. Если s(t)S(щ) и g(t)=?s(t)dt, то g(t)G(щ)=S(щ)/jщ.

6. Если u(t)U(щ), v(t)V(щ) и s(t)=u(t)v(t), то

.

Сигнал находится по спектру с помощью обратного преобразования Фурье

.[4]

Рассмотрим спектры некоторых сигналов.

1. Прямоугольный импульс.

Рис.2.1. Спектр прямоугольного импульса.

2. Гауссовский импульс.

s(t)=Uexp(-вt2)

Рис.2.2. Спектр гауссовского импульса.

3. Сглаженный импульс

С помощью численного интегрирования находим спектр S(щ).

S(0)=2.052 S(6)=-0.056

S(1)=1.66 S(7)=0.057

S(2)=0.803 S(8)=0.072

S(3)= 0.06 S(9)=0.033

S(4)=-0.259 S(10)=-0.0072

S(5)=-0.221 S(щ)=S(-щ)

Рис. 2.3. Спектр сглаженного импульса.

2.2 Корреляционные свойства сигналов

Для сравнения сигналов, сдвинутых во времени, вводят автокорреляционную функцию (АКФ) сигнала. Она количественно определяет степень отличия сигнала u(t) и его смещенной во времени копии u(t - ф) и равна скалярному произведению сигнала и копии:

Непосредственно видно, что при ф=0 автокорреляционная функция становится равной энергии сигнала: Bu(0)=Eu.

Автокорреляционная функция четна: Bu(ф)=Bu(-ф).

При любом значении временного сдвига ф модуль АКФ не превосходит энергии сигнала |Вu(ф)|?Bu(0)=Eu.

АКФ связана со спектром сигнала следующим соотношением:

.

Верно и обратное:

.

Для дискретного сигнала АКФ определяется в следующем виде:

и обладает следующими свойствами.

Дискретная АКФ четна: Bu(n)=Bu(-n).

При нулевом сдвиге АКФ определяет энергию дискретного сигнала:

.

Иногда вводят взаимнокорреляционную функцию (ВКФ) сигналов, которая описывает не только сдвиг сигналов друг относительно друга по времени, но и различие в форме сигналов.

ВКФ определяется следующим образом

для непрерывных сигналов и

для дискретных сигналов. [4]

Рассмотрим АКФ некоторых сигналов.

1. Последовательность прямоугольных импульсов

Рис. 2.4. АКФ последовательности прямоугольных импульсов.

2. 7-позиционный сигнал Баркера

Bu(0)=7, Bu(1)= Bu(-1)=0, Bu(2)= Bu(-2)=-1, Bu(3)= Bu(-3)=0, Bu(4)= Bu(-4)=-1, Bu(5)= Bu(-5)=0, Bu(6)= Bu(-6)=-1, Bu(7)= Bu(-7)=0.

Рис. 2.5. АКФ 7-позиционного сигнала Баркера.

3. 8-позиционные функции Уолша

Функция Уолша 2-го порядка

Bu(0)=8, Bu(1)= Bu(-1)=3, Bu(2)= Bu(-2)=-2, Bu(3)= Bu(-3)=-3, Bu(4)= Bu(-4)=-4, Bu(5)= Bu(-5)=-1, Bu(6)= Bu(-6)=2, Bu(7)= Bu(-7)=1, Bu(8)= Bu(-8)=0.

Рис. 2.6. АКФ функции Уолша 2-го порядка.

Функция Уолша 7-го порядка

Bu(0)=8, Bu(1)= Bu(-1)=-7, Bu(2)= Bu(-2)=6, Bu(3)= Bu(-3)=-5, Bu(4)= Bu(-4)=4, Bu(5)= Bu(-5)=-3, Bu(6)= Bu(-6)=2, Bu(7)= Bu(-7)=-1, Bu(8)= Bu(-8)=0.

Рис. 2.7. АКФ функции Уолша 7-го порядка.

2.3 Типы сложных сигналов

Сигнал - это физический процесс, который может нести полезную информацию и распространяться по линии связи. Под сигналом s(t) будем понимать функцию времени, отображающую физический процесс, имеющий конечную длительность Т.

Сигналы, у которых база В, равная произведению длительности сигнала Т на ширину его спектра, близка к единице, называются «простыми» или «обыкновенными». Различение таких сигналов может быть осуществлено по частоте, времени (задержке) и фазе.

Сложные, многомерные, шумоподобные сигналы формируются по сложному закону. За время длительности сигнала Т он подвергается дополнительной манипуляции (или модуляции) по частоте или фазе. Дополнительная модуляция по амплитуде используется редко. За счет дополнительной модуляции спектр сигнала Дf (при сохранении его длительности Т) расширяется. Следовательно, для такого сигнала B=T Дf>>1.

При некоторых законах формирования сложного сигнала его спектр оказывается сплошным и практически равномерным, т.е. близким к спектру шума с ограниченной шириной полосы. При этом функция автокорреляции сигнала имеет один основной выброс, ширина которого определяется не длительностью сигнала, а шириной его спектра, т.е. имеет вид, аналогичный функции автокорреляции шума с ограниченной полосой частот. В связи с этим такие сложные сигналы называют шумоподобными. [5]

Шумоподобные сигналы получили применение в широкополосных системах связи, так как: обеспечивают высокую помехозащищенность систем связи; позволяют организовать одновременную работу многих абонентов в общей полосе частот; позволяют успешно бороться с многолучевым распространением радиоволн путем разделения лучей; обеспечивают лучшее использование спектра частот на ограниченной территории по сравнению с узкополосными системами связи.

Известно большое число различных шумоподобных сигналов (ШПС). Тем не менее, выделяют следующие основные ШПС: частотно-модулированные сигналы; многочастотные сигналы; фазоманипулированные сигналы; дискретные частотные сигналы; дискретные составные частотные сигналы.

Частотно-модулированные сигналы (ЧМ) являются непрерывными сигналами, частота которых меняется по заданному закону (рис. 2.8.).

Рис. 2.8. ЧМ сигнал.

В системах связи необходимо иметь множество сигналов. При этом необходимость быстрой смены сигналов и переключения аппаратуры формирования и обработки приводят к тому, что закон изменения частоты становится дискретным. При этом от ЧМ сигналов переходят к ДЧ сигналам.

Многочастотные (МЧ) сигналы являются суммой N гармоник u1(t)…uN(t), амплитуды и фазы которых определяются в соответствии с законами формирования сигналов (рис. 2.9.).

Рис. 2.9. МЧ сигнал.

МЧ сигналы являются непрерывными и для их формирования и обработки трудно приспособить методы цифровой техники.

Фазоманипулированные (ФМ) сигналы представляют последовательность радиоимпульсов, фазы которых изменяются по заданному закону (рис. 2.10., а). Обычно фаза принимает два значения (0 или р). При этом радиочастотному ФМ сигналу соответствует видео-ФМ сигнал (рис. 2.10., б).

Рис. 2.10. ФМ сигнал.

ФМ сигналы весьма распространены, т.к. они позволяют широко использовать цифровые методы при формировании и обработке, и можно реализовать такие сигналы с относительно большими базами.

Дискретные частотные (ДЧ) сигналы представляют последовательность радиоимпульсов (рис. 2.11.), несущие частоты которых изменяются по заданному закону.

Рис. 2.11. ДЧ сигнал.

Дискретные составные частотные (ДСЧ) сигналы являются ДЧ сигналами, у которых каждый импульс заменен шумоподобным сигналом.

На рис. 2.12. изображен видеочастотный ФМ сигнал, отдельные части которого передаются на различных несущих частотах. [6]

Рис. 2.12. ДСЧ сигнал.

2.4 Производные системы сигналов

Производным сигналом называется сигнал, который получается в результате перемножения двух сигналов. В случае ФМ сигналов перемножение должно осуществляться поэлементно или, как чаще называют, посимвольно. Система, составленная из производных сигналов, называется производной. Среди производных систем особое значение имеют системы, построенные следующим образом. В качестве основы используется некоторая система сигналов, корреляционные свойства которой не вполне удовлетворяют требованиям к КФ, но которая обладает определенными преимуществами с точки зрения простоты формирования и обработки. Такая система называется исходной. Затем выбирается сигнал, который обладает определенными свойствами. Такой сигнал называется производящим. Умножая производящий сигнал на каждый сигнал исходной системы, получаем производную систему. Производящий сигнал следует выбирать так, чтобы производная система была действительно лучше исходной, т.е. чтобы она обладала хорошими корреляционными свойствами. Комплексная огибающая производного сигнала Sмm(t) равна произведению комплексных огибающих исходных сигналов Um(t) и производящего сигнала Vм(t), т.е. Sмm(t)= Um(t)Vм(t). Если индексы изменяются в пределах m=1..M, м=1..H, то объем производной системы сигналов L=MH.

Выбор производящих сигналов определяется рядом факторов, в том числе и исходной системой. Если сигналы исходной системы широкополосные, то производящий сигнал может быть широкополосным и иметь малые уровни боковых пиков функции неопределенности, близкие к среднеквадратическому значению. Если же сигналы исходной системы узкополосные, то достаточно выполнения неравенства FV>>FU (FV - ширина спектра производящих сигналов, FU - ширина спектра исходных сигналов) и требования малости боковых пиков АКФ.

Возьмем в качестве исходной - систему Уолша. В этом случае производящие сигналы должны быть широкополосными и иметь хорошие АКФ. Кроме того, производящий сигнал должен иметь столько же элементов, что и исходные сигналы, т.е. N=2k элементов, где k - целое число. Этим условиям в целом удовлетворяют нелинейные последовательности. Поскольку основным является требование малости боковых пиков АКФ, то в классе нелинейных последовательностей были отобраны наилучшие сигналы с числом элементов N=16, 32, 64. Эти сигналы показаны на рис. 2.13. На рис. 2.13. указаны также значения числа блоков м для каждого производящего сигнала. Они близки к оптимальному значению м0=(N+1)/2. Это и является необходимым условием получения хорошей АКФ с малыми боковыми пиками.

Рис. 2.13. Производящие ФМ сигналы.

Объем производной системы равен объему системы Уолша N. Производные системы обладают лучшими корреляционными свойствами, чем системы Уолша. [6]

3. Модуляция сложных сигналов

3.1 Геометрическое представление сигналов

Рассмотрим геометрическое или векторное представление сигналов. Определим N-мерное ортогональное пространство как пространство, определяемое набором N линейно независимых функций {шj(t)}, именуемых базисными. Любая функция этого пространства может выражаться через линейную комбинацию базисных функций, которые должны удовлетворять условию

,

где оператор называется символом Кронекера. При ненулевых константах Kj пространство именуется ортогональным. Если базисные функции нормированы так, что все Kj=1, пространство называется ортонормированным. Основное условие ортогональности можно сформулировать следующим образом: каждая функция шj(t) набора базисных функций должна быть независимой от остальных функций набора. Каждая функция шj(t) не должна интерферировать с другими функциями в процессе обнаружения. С геометрической точки зрения все функции шj(t) взаимно перпендикулярны.

В ортогональном сигнальном пространстве проще всего определяется Евклидова мера расстояния, используемая в процессе обнаружения. Если волны, переносящие сигналы, не формируют подобного пространства, они могут преобразовываться в линейную комбинацию ортогональных сигналов. Можно показать, что произвольный конечный набор сигналов {si(t)} (i=1…M), где каждый элемент множества физически реализуем и имеет длительность T, можно выразить как линейную комбинацию N ортогональных сигналов ш1(t), ш2(t), …, шN(t), где N M, так что

где

.

Вид базиса {шj(t)} не задается; эти сигналы выбираются с точки зрения удобства и зависят от формы волн передачи сигналов. Набор таких волн {si(t)} можно рассматривать как набор векторов {si}={ai1, ai2, …,aiN}. Взаимная ориентация векторов сигналов описывает связь между сигналами (относительно их фаз или частот), а амплитуда каждого вектора набора {si} является мерой энергии сигнала, перенесенной в течение времени передачи символа. Вообще, после выбора набора из N ортогональных функций, каждый из переданных сигналов si(t) полностью определяется вектором его коэффициентов si=(ai1, ai2, …,aiN) i=1…M. [2]

3.2 Методы фазовой манипуляции сигналов (ФМ2, ФМ4, ОФМ)

Фазовая манипуляция (PSK) была разработана в начале развития программы исследования дальнего космоса; сейчас схема PSK широко используется в коммерческих и военных системах связи. Сигнал в модуляции PSK имеет следующий вид:

Здесь фаза цi(t) может принимать M дискретных значений, обычно определяемых следующим образом:

Самым простым примером фазовой манипуляции является двоичная фазовая манипуляция (ФМ2). Параметр E - это энергия символа, T - время передачи символа. Работа схемы модуляции заключается в смещении фазы модулируемого сигнала si(t) на одно из двух значений, нуль или р (1800). Типичный вид сигнала ФМ2 приведен на рис. 3.1.a), где явно видны характерные резкие изменения фазы при переходе между символами; если модулируемый поток данных состоит из чередующихся нулей и единиц, такие резкие изменения будут происходить при каждом переходе. Модулированный сигнал можно представить как вектор на графике в полярной системе координат; длина вектора соответствует амплитуде сигнала, а его ориентация в общем M-арном случае - фазе сигнала относительно других M - 1 сигналов набора. При модуляции ФМ2 (рис. 3.1.б)) векторное представление дает два противофазных (1800) вектора. Наборы сигналов, которые могут быть представлены подобными противофазными векторами, называются антиподными. [2]

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6