Выдающаяся роль Леонарда Эйлера в развитии алгебры, геометрии и теории чисел 
(х - p)2 + Q (х -- р) (y - g) + P(y -- q)2 = 0,а затем дает соответствующие формы уравнений для тройной и четырехкратной точек.Вслед за тем Эйлер несколько подробнее и оригинально изложил учение о кривизне линий. Прежде всего он определил для кривой аппроксимирующую ее в окрестности данной точки параболу и нашел для последней круг кривизны. Для уравнения0 = At + Bu + Ctt + Dtu + Euu + Ft3 + Gttu + Htuu + и т. д.Эйлер получает, что длина радиуса кривизны в начале координат равнаАнализируя это выражение, он пришел к точкам перегиба первого и высшего порядков, для чего привлекались еще члены третьей степени. Аналогично рассматривались лежащие в начале координат точки заострения первого и высших порядков. В качестве общей формы, заключающей все эти возможности, он взял аппроксимирующие кривые с уравнениями бrm = sn. В плане подобных рассмотрений точки заострения второго рода, разумеется, не встречались, однако с помощью удачно выбранного примера Эйлер доказал, что такие точки действительно существуют. Ближайшие две главы книги Эйлера трактовали о кривых, имеющих диаметры, и об определении кривых, ординаты которых обладают данными свойствами. В последнем случае Эйлер имел в виду следующее. Пусть, например, уравнение кривой дано в видеyy - Py + Q = 0,где Р и Q -- функции х, и ординаты, соответствующие одному и тому же значению х, суть РМ и PN. Тогда можно принять, например, чтоPMn + PNn=an(п может быть также отрицательным или дробным). Аналогично обстоит дело с кривыми, уравнение которых имеет видy3 - Py2 + Qy - R = 0.В следующей главе Эйлер определял кривые по другим условиям. Однако и эти условия носили весьма ограничительный характер и относились только к свойствам отрезков, отсекаемых на лучах, выходящих из начала координат. Вначале Эйлер устанавливает общие уравнения алгебраических кривых, имеющих с таким лучом лишь одну, две или три точки пересечения. Попутно Эйлер употребляет полярные координаты, полагая луч СМ = z, а угол его наклона к оси Ох обозначая через ц, так чтох = z cos ц, у = z sin ц.Затем он берет условия типа CM ± CN = const., = const., = const, и некоторые другие и исследует соответствующие классы кривых. Сходным образом поступает он и в случае трех точек пересечения.Специальную главу Эйлер посвятил подобию и аффинности кривых. Он повторил сделанное уже ранее указание, что однородное относительно х и у уравнение представляет только систему («aliquot») прямых, пересекающихся в одной точке. Если же уравнение оказывается однородным при введении «параметра» и, то все представляемые им кривые являются подобными. Эйлер приводит для примера уравнениеу3 -- 2 х3 + a y y -- a a x + 2 a a y = 0и доказывает, что если координаты точек другой кривой системы обозначить X и Y, то всегда будет и .«Аффинными» Эйлер назвал кривые, координаты которых связаны уравнениями и .Это определение совпадает с современным понятием аффинности. Затем Эйлер привел еще несколько примеров на составление систем кривых с одним переменным параметром.Интересно, что в свою книгу Эйлер включил также главу о трансцендентных кривых. Он кратко рассмотрел тригонометрические кривые, логарифмическую кривую, циклоиду, эпициклоиды и гипоциклоиды, линию х у = у х и спирали. Для спиралей он вновь применил полярные координаты, обозначая полярный угол, измеряемый в радианах, через s, а полярный радиус-вектор, как и раньше, через z. Ни здесь, ни где-либо в другом месте этого тома дифференциальное исчисление не применялось. [11]Надо обратить внимание, что дидактические достоинства второго тома «Введения» велики. Изложение отличается отчетливостью и доступностью, систематизация материала вполне естественная. Для того времени это «научный трактат» и в то же время хороший учебник. Впервые аналитическая геометрия была столь полно и последовательно изложена. Отныне ей было обеспечено самостоятельное место среди других математических дисциплин. [6] §3.4. Специальные плоские кривыеЕще долго до того, как возникла общая теория конических сечений, был изобретен ряд отдельных кривых для построения античных задач.«Треугольные кривые» возникли в одной оптической задаче, поставленной Эйлером [Act. Ac. Petr., 1778, II (1781). Эвольвенты этих кривых он называл «круговидными» (Orbiformen).Кривым с несколькими осями симметрии посвятил XV главу второго тома своего «Введения» (1748) Эйлер.Кривыми, длины дуг которых представляют собой некоторые определенные функции, несколько раз занимались Эйлер [Nov. Act. Petr., 1789 (представлено 1776), Mem. Ac. St.-Pet, 1830 (представлено 1781)] и Н. Фус (Nov. Act. Petr., 1805).На «псевдоциклоиды» (термин Э. Чезаро, 1896), т. е. эпициклоиды с мнимым образующим кругом, натолкнулся еще Эйлер в поисках кривых, подобных своим эволютам различных порядков [Comm. Ac. Petr., 1740 (1750) и Nov. Act. Petr., 1783 (1787)].«Упругую кривую», т. е. линию, форму которой принимает закрепленный на одном конце упругий стержень, Галилей как это указывает Як. Бернулли (Acta Erud., 1694), также считал параболой. Геометрическую характеристику этой кривой дал Я. Бернулли (Acta Erud., 1694 и 1695). Особенно подробно занялся ею Эйлер в приложении 1 к «Методу нахождения кривых линий» (1744, ср. стр. 202) и в Acta. Ac. Petr., 1782, II (1786).[11] §3.5. Геодезические линииПервые дифференциально-геометрические исследования относились к кратчайшим линиям на поверхностях. В самом деле, именно при изучении геодезических линий Иоганн Бернулли в 1697, по-видимому, впервые, применил исчисление бесконечно малых. Изложение своего метода он составил лишь в 1728, а опубликовал его в 1742 (Opera, т. IV; ср. стр. 201--202). Как известно из одного его письма к Эйлеру от 18 апреля 1729, дифференциальное уравнение, полученное Бернулли, имело видгде Т обозначает подкасательную и ds2 = dx2 + dy2. В одной схолии сам Бернулли показал, что это дифференциальное уравнение легко преобразовать к форме, которая содержится в опубликованной тем временем Эйлером статье в Соmm. Ac. Petr., 1728 (1732). Бернулли опирался на теорему, полученную, впрочем, из механических соображений, что соприкасающаяся плоскость геодезической линии («planum osculans») должна быть перпендикулярна к касательной плоскости поверхности (письмо к Лейбницу, август 1698).Бернулли добавил, что в случае поверхностей вращения задачу можно также решить, требуя, чтобы при развертывании узкой полосы поверхности, содержащей геодезическую линию, на плоскость эта линия переходила в прямую. Для конуса это замечание было сделано Як. Бернулли уже в Acta Erud., 1698.Эйлер решил задачу в указанной статье, исходя из высказанного еще в 1697 Як. Бернулли положения, что минимальное свойство всей кривой должно быть присуще и ее мельчайшим частям, а также применяя теорию максимумов и минимумов.У Эйлера дифференциальное уравнение геодезической линии имело вид,где функции Р, Q берутся из дифференциального уравнения поверхности Pdx = Qdy + Rdt. Эйлер затем подробнее разобрал частные случаи общего цилиндра и конуса, а также поверхностей вращения. Для этих случаев он привел дифференциальное уравнение к уравнению первого порядка, а в заключение указал некоторые обобщения. Эйлер не забыл отметить, что при развертывании поверхностей цилиндра или конуса на плоскость их геодезические линии должны перейти в прямые.Лейбниц также весьма интересовался этим вопросом, но он лишь указал (в переписке с И. Бернулли, 1698) способ, который мог бы также привести к составлению дифференциального уравнения. Прием, указываемый Лейбницем, совпадал с тем, которым воспользовался для решения задачи молодой Клеро в Mem. Ac. Paris, 1733 (1735).Существенный шаг вперед сделал здесь опять-таки Эйлер в IV главе второго тома «Механики» (1736), где доказал, что точка, движущаяся по поверхности без ускорения, всегда описывает геодезическую линию. При этом у него получилось механическое доказательство теоремы, из которой исходил Бернулли (аналитическое доказательство дал впервые Лагранж в 1806).Более простой вопрос о геодезических кривых на поверхностях вращения геометрически разрешил, как было отмечено, Як. Бернулли (Acta Erud., 1698). Клеро затем доказал, что для точек такой линии произведение радиуса параллельного круга на синус ее угла с меридианом постоянно [Mem. Ac. Paris, 1733 (1735)]; с помощью разложений в ряды он приближенно определил геодезические линии эллипсоида вращения, мало отличающегося от шара [там же, 1739 (1740)].Эйлер, побуждаемый Иоганном Бернулли, обобщил задачу о геодезических линиях на кривые, соприкасающаяся плоскость которых образует с касательной плоскостью к поверхности угол, отличный от прямого (письмо к Бернулли от 11 июля 1730, опубликовано в 1903 г.). Эту задачу решил и Бернулли (Opera, IV, 1742). [11] §3.6. Общие пространственные кривые и развертывающиеся поверхностиПрименение дифференциальных операций к более общим пространственным образам, как и вообще их аналитическое изучение, последовало сравнительно поздно. В «Исследованиях» Клеро (1731), кроме подкасательной пространственной кривой, встречается лишь формула ds=. Какой-либо прогресс в этом отношении не наблюдается вплоть до выхода двух статей Эйлера о пространственных кривых, последовавших одна за другой в Act. Ac. Petr., 1782, I (1786). Поэтому две указанные работы следует считать в данной области основоположными. Чтобы не выделять особо какую-либо из осей координат, Эйлер сразу выбирает в качестве независимой переменной длину дуги s, полагаяdx = p ds, dy = q ds и dz = r ds.Затем он описал вокруг точки кривой Z шар единичного радиуса, на который, как сказали бы мы, сферически отобразил окрестность точки кривой вместе с прямыми, проходящими через нее параллельно осям, и т. д.; прием этот вел свое происхождение из астрономии.Далее, Эйлер применил формулы сферической тригонометрии, добавив, однако (в Dissertatio altera -- «Другое рассуждение»), для тех, кого не может удовлетворить этот «чужеродный принцип», совершенно иной вывод, отправлявшийся от соприкасающейся плоскости. Полученные результаты сам Эйлер резюмировал в заключении следующим образом. Если взять прямоугольный параллелепипед со сторонами х, у, z, то его диагональ дает длину и направление радиуса-вектора; диагональ параллелепипеда со сторонами р, q, r дает направление касательной и длина ее равна 1; диагональ параллелепипеда со сторонамидает направление радиуса кривизны, а длина ее равна обратному значению последнего; наконец, если взять стороны равными и т. д., то длина диагонали будет та же, что и в предыдущем случае, а направление ее будет перпендикулярным к соприкасающейся плоскости.В тесной связи с этими исследованиями находилась работа Эйлера о «телах», поверхность которых можно наложить на плоскость [Nov. Comm. Petrop., 1771 (1772)]. Подобными развертываниями многократно занимались с чисто практической точки зрения еще ранее Фр. Деран («Архитектура сводов и т. д.» -- L'architecture des voutes etc., Париж, 1643) и особенно А. Фрезье («Теория и практика резки камней и дерева» -- La theorie et la pratique de la coupe des pierres et des bois, I, Страсбург, 1737; см. также ниже о Гварини, стр. 309). Но понятие развертывающейся поверхности создал Эйлер. Он взял на плоскости бесконечно малый прямоугольный треугольник, исходящий из точки (t, u), и определил на поверхности такой треугольник, исходящий из точки х, у, z, который был бы конгруэнтен с первым. Полагая и т. д., он получил условия развертываемости поверхности в видеl2 +m2 + n2 =1, л2 + м2 + н2 =1, l л + m м + n н =0.Затем Эйлер аналитически и геометрически показал, что касательные к любой пространственной кривой всегда образуют развертывающуюся поверхность, и что тоже относится к поверхности, образуемой общими касательными двух «тел», одно из которых рассматривается как светящееся. Тем самым было введено понятие развертывающихся поверхностей, а точки их представлены были с помощью двух параметров.Замечательна не столько по результатам, сколько по своему методу относящаяся к тому же времени работа Эйлера о кратчайших линиях на поверхностях [Nov. Act. Petrop., 1799--1802 (1806); поступила в 1779]. Во-первых, для интегрирования дифференциального уравнения Эйлер здесь употребил угол, образуемый кратчайшими линиями с параметрическими линиями z = const., что, впрочем, не было у него выражено ясным образом. Во-вторых, он ввел прием, симметричный относительно трех координат, так что и дифференциальное уравнение получалось в симметричной форме. Некоторые другие работы Эйлера, о которых мы только упомянем, посвящены вопросу о спрямляемых кривых на шаре, эллипсоиде вращения и конусе [Nov. Comm. Petr., 1770 (1771); Act. Petr., 1781, I (1784), Nov. Act. Petr, 1785 (1788)]. [11]§3.7. Общие поверхностиВо второй половине XVIII столетия прочное основание получила также дифференциальная геометрия общих поверхностей. Уравнение касательной плоскости к поверхности дали одновременно Тенсо и Монж в статьях (Mem. div. sav., IX, 1780). Обозначая координаты точки поверхности х, у, z, а координаты произвольной точки касательной плоскости р, ц, щ, Тенсо записал ее уравнение в видеЗаключенные в скобки дифференциальные частные нужно здесь рассматривать как частные производные. Кроме того, Тенсо рассмотрел задачу об определении линии прикосновения к поверхности касательного конуса, проведенного к ней из точки (а, b, с), как это сделал и Монж. Затем он разобрал такую же задачу для параллельных касательных и вопрос об установлении уравнений соответствующих конуса и цилиндра. Впрочем, для всех этих задач он ограничивался лишь указаниями. Готовые формулы или примеры отсутствовали. У Монжа уравнение касательной плоскости получило уже вполне современный вид:z=p' ( x - x') + q' (y - y' ) + K'.Эйлер в этой области также открыл ряд фундаментальных теорем. В одной большой работе о кривизне поверхностей [Mem. Ac. Berlin, 1760 (1767)] он прежде всего приступил к задаче об определении радиуса кривизны сечения данной поверхности, лежащего в плоскости z = б у--в x+г причем получил, разумеется, весьма сложное выражение. Затем он провел секущую плоскость через нормаль к поверхности и вычислил новое выражение для радиуса кривизны сечения, нисколько не более простое, чем предыдущее. Далее, он назвал «главным сечением» нормальное сечение, перпендикулярное к плоскости хОу. Для этого и еще для другого нормального сечения, перпендикулярного к первому, получались уже более простые выражения радиуса кривизны. Обозначив затем через ц угол, образуемый плоскостью произвольного нормального сечения с плоскостью главного сечения, Эйлер снова составил общее выражение радиуса кривизны. Получившуюся опять-таки очень громоздкую формулу он несколько упростил и в качестве примеров взял цилиндрz = v(aa -- yy),конусz= v (ппхх --уу)и эллипсоидzz = aa -- тхх -- пуу.Только в конце работы он привел формулу радиуса кривизны в виде,из рассмотрения которой извлек важные заключения. Так, например, он нашел, что три известных радиуса кривизны позволяют определить все остальные его значения в точке поверхности, что в каждой точке поверхности существует наибольший радиус кривизны f и наименьший g, плоскости которых взаимно перпендикулярны и которые в свою очередь определяют общую кривизну элемента поверхности, а именно:.В статье, носившей то же название, что и работа Эйлера, Ж. Менье поставил целью развить результаты последней (Mem. div. sav., 1785; поступила в 1776). Но Менье исходил из совершенно иной концепции. Отправляясь от мысли, что совпадение частных дифференциалов до второго порядка включительно обусловливает совпадение кривизн двух поверхностей, Менье заменил в точке u, v, t (причем ось t лежала на нормали к поверхности в этой точке) поверхность параболоидом.Менье преобразовал это уравнение к видуи затем доказал, что каждый элемент поверхности (термин Менье) можно получить вращением малой дуги окружности вокруг оси, параллельной касательной плоскости этого элемента. Для радиуса этой окружности r и расстояния оси от точки поверхности с он получил выраженияи.переходящие одно в другое; при этом оказалось, что r и с совпадают с найденными Эйлером крайними значениями f и g радиусов кривизны нормальных сечений поверхности. К этому Менье присоединил теорему, носящую его имя. Именно, если R' есть радиус кривизны нормального сечения, проходящего через касательную AQ к кривой на поверхности, то R, радиус кривизны сечения, лежащего в другой плоскости, проходящей через AQ, определяется формулой R = R' sin щ, где щ -- угол между обеими плоскостями. Отправляясь от этого, Менье дал полный разбор соотношений между кривизнами на элементе поверхности. Среди примеров он рассмотрел, в частности, задачу об определении поверхностей, для которых r=с. Интегрируя соответствующее дифференциальное уравнение, он получил, что1=(Ax+B)2+(Ay+C)2+(Az+D)2
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6
|
|
