Проявление симметрии в различных формах материи
непрерывной оси переносов, то получается 7 формул симметрии уже
известных нам бордюров. Это значит, что плоские односторонние
семиконтинуумы - это обыкновенные бордюры, до бесконечности вытянутые в
ширину.
Слои – это фигуры без особенных точек, с особенной, не
обязательно полярной плоскостью и двумя осями переносов. Таким образом,
сетчатые орнаменты - лишь особого рода слои. Примерами слоев являются
складчатые слои полипептидных цепей, тончайшие пленки, прозрачные
двусторонние вывески и т. д.
Вывод видов симметрии двусторонних плоских континуумов
осуществляется размножением фигур двусторонней розетки посредством двух
взаимно перпендикулярных непрерывных переносов. Так как число групп
симметрии двусторонних розеток бесконечно, то бесконечно и число групп
симметрии двусторонних плоских континуумов.
Двусторонний плоский семиконтинуум можно получить посредством
двух взаимно перпендикулярных переносов прямой линии, обладающей той
или иной симметрией ленты. В качестве примера плоского двустороннего
семиконтинуума можно взять систему тонких натянутых на плоскости
равноотстоящих друг от друга проволок.
2.1.3.Континуумы, семиконтинуумы, дисконтинуумы
Теперь возвратимся к фигурам с трехмерной симметрией, но уже как
к симметрическим пространствам – трехмерным дисконтинуумам,
семиконтинуумам и континуумам.
Уже из философских положений: 1) пространство и время – формы
существования материи,2)движение – сущность пространства и
времени,3)существуют качественно различные, взаимно превращающиеся виды
материи и формы ее движения – вытекают выводы о существовании
качественно различных взаимно превращающихся конкретных форм
пространства и времени.
Данные о континуумах, семиконтинуумах и дисконтинуумах также
подтверждают эти утверждения. Они с новой и очень своеобразной стороны
выявляют связь симметрии с пространством и временем.
Очевидно кристаллы в отношении их атомов,ионов и молекул можно
рассматривать как дискретные трехмерные пространства – дисконтинуумы.
Помимо дискретных – анизотропных и неоднородных – пространств в
теории различают еще и дискретные в одних и непрерывные в других
направлениях пространства – семиконтинуумы I и II рода. Семиконтинуумы,
будучи явлениями, переходными между континуумами и дисконтинуумами и
одновременно их единством, с новых сторон выявляют диалектику
пространства.
Пространственные (трехмерные) семиконтинуумы I рода могут быть
получены трансляцией плоских континуумов вдоль перпендикуляра к ним.
Число групп симметрии пространственных семиконтинуумов I рода
бесконечно.Можно привести несколько примеров таких пространств в
природе. Они проявляются, например, в так называемых смектических
жидких кристаллах. Последние состоят из пленок толщиной в 1-2 молекулы,
пленки лежат друг на друге, как листы в стопке бумаги, причем молекулы
в них одной своей осью расположены параллельно друг другу, а двумя
другими нет. Другие примеры-поле стоячих ультразвуковых волн в
жидкости, образованное сгущениями и разряжениями последней, а также
однородное световое поле, которое можно рассматривать как семиконтинуум
для плоских волн.
Пространственные семиконтинуумы II рода могут быть получены
переносом любых из одно- и двусторонних плоскостей, обладающих
симметрией бесконечных слоев. Простейшие примеры семиконтинуумов II
рода дает практика: с ними мы сталкиваемся при укладке стержней-
бревен, труб и т.д.
Перейдем теперь к рассмотрению полностью непрерывных во всех трех
направлениях пространств-континуумов. Пространственные континуумы могут
быть получены путем трех непрерывных взаимно перпендикулярных переносов
элементарных объектов, обладающих симметрией конечных фигур.
Примером симметрических пространственных континуумов являются
разнообразные физические поля. Евклидово пространство – также один из
примеров таких континнумов. Его можно получить непрерывным
«размножением» в трех направлениях точки, обладающей симметрией
обыкновенного шара( ?/??m). Пространство уже обычного электрического
поля, в котором направление «вперед» (по силовым линиям) отлично от
направления «назад» (против силовых линий), существенно отличается от
пространства Евклида. Такой континуум можно получить непрерывным
переносом в трех взаимно перпендикулярных направлениях одной точки с
симметрией обыкновенного круглого конуса(??m).
Как известно, в теории относительности была впервые выявлена
глубокая связь двух фундаментальных континуумов – пространственного и
временного. Поэтому особое значение среди различных физических
континуумов придается пространственно-временному, описываемому
ортохронной группой преобразований Лоренца. Она состоит из: 1) группы
вращений в пространственно-временных плоскостях на чисто мнимый угол,2)
группы трехмерных вращений, 3) группы пространственной инверсии.
Основной вывод, неизбежно следующий из рассмотрения свойств одно-
, дву-, трех-,четырех-,…,n-мерных континуумов, семиконтинуумов и
дисконтинуумов, - это вывод о бесконечном – количественном и
качественном разнообразии и одно- и двусторонних превращениях,
переходах одних реальных пространств и времен в другие.
Эти же выводы подтверждаются и общей теорией относительности,
согласно которой в «большом» – в масштабах Метагалактики – реальное
пространство- время глубоко неоднородно и неизотропно, хотя в «малом»
(например, в масштабах Солнечной ситемы) это пространство-время
псевдоевклидово. Однако это подход к малому пространству и времени
только с одной точки зрения. Тоже малое даже в бесчисленном множестве
«совсем малых» пространств и времен, если его рассматривать уже с
позиции геометрической симметрии, вернее кристаллографических аспектов,
обнаруживает также бесконечное разнообразие Материалы о плоских и
трехмерных реальных континуумах, семиконтинуумах и дисконтинуумах
доказывают это совершенно строго.Приведем новые подтверждения
развиваемых здесь положений из области квантовой физики твердого тела.
Известно, что все атомы правилбной кристаллической решетки в
некотором приближении одинаковы. Они подобны музыкальным струнам,
настроенным на одну и ту же частоту, и вследствие этого при возбуждении
колебаний в одном из них способны резонировать, что приводит к волне,
бегущей через весь кристалл. Природа этих волн может быть очень
разнообразной - звуковой, магнитной, электрической и т.д. Согласно
общим законам квантовой механики, эти волны возникают и передаются
только в виде квантов энергии. Последние во многом аналогичны обычным
частицам, и их называют квазичастицами. Поскольку природа их
определяется структурой и химическим составом кристаллов, то их
разнообразие значительно более широко, чем разнообразие истинных
частиц.Сейчас известны такие квазичастицы, как фотоны (кванты звука),
электроны проводимости, магноны (спиновые волны), эквитоны, поляритоны
(светоэкзитоны) и многие дручие. Важность введения квазичастиц в теорию
твердого тела состояла в том, что во многих случаях кристалл оказалось
возможным трактовать с позиций невзаимодействующих или слабо
взаимодействующих квазичастиц.
Известно, что механику истинных частиц пронизывает принцип
относительности, выраженный лоренцовыми преобразованиями. Этот принцип
выражает однородность, изотропность пространства и однородность
времени, с которыми связаны разные законы сохранения. Это проявляется
также и в универсальности для механики всех истинных частиц зависимости
энергии E от импульса p: __________
Е=? E +c p
Где Е т с -энергия покоя, т – масса поко, с – скорость света в
вакууме.
Если с/м<
Это обычный квадратичный закон дисперсии.
Однако с переходом к квазичастицам положение радикально меняется!
И это прямо связано с резко иным характером малых кристаллических
пространств по сравнению с «пустым» пространством малого. Очень четко и
интересно резюмируют результаты такого перехода И.М. Лившиц и В.М.
Агранович. Они пишут, что для квазичастиц положение радикально
меняется, потому что «квазичастицы не в пустом пространстве,, не в
вакууме, а в кристаллическом пространстве, которое имеет симметрию,
отвечающую соответствующей пространственной группе кристалла. В связи с
этим имеется выделенная система отсчета и нет прежнего принципа
относительности. Поэтому нет и закона дисперсии, который имеет место
для истинных частиц. Вместо этого возникает сложный закон дисперсии
Е=Е(р), причем вместо импульса приходится говорить о квазиимпульсе, ибо
пространство уже неоднородно и закон сохранения импульса, который
является точным законом в однородном пространстве, в кристаллическом
пространствевыполняется с точностью до целочисленного вектора обратной
решетки, умноженной на h.
Закон дисперсии для квазичастиц существенно отличается от
элементарного закона Е=р /2т. Во-первых, Е(р) – периодическая функция
р с периодом, равным периоду обратной решетки, умноженному на h. Во-
вторых, имеется, вообще говоря, резкая анизотропия этого закона
дисперсии и, следовательно, анизотртпия всех свойств, определяемых
квазичастицами»ю
Далее. Для истинных частиц в зависимости Е=р /2т каждому Е
соответствуют поверхности, называемые поверхностями Ферми. В данном
случае это просто сферы, радиус которых растет пропорционально ?Е. Для
квазичастиц уже в пространстве квазиимпульсов функции Е=Е(р) при каждом
заданном Е соответствует периодически повторяющийся набор поверхностей
Ферми, которые иногда могут смыкаться в одну поверхность, проходящую
через все пространство. Придавая Е различные значения и изображая
графически в итоге всю функцию Е= Е(р), можно передать рисунком все
черты динамики квазичастиц. Получающиеся при таком подходе изображения
топологически очень сложны и чрезвычайно напоминают абстрактные
скульптуры. Они резко отличаются от примитивных по форме сфер.
Подобно истинным частицам одни из квазичастиц подчиняются
статистике Бозе- Эйнштейна и являются, стало быть, бозонами, другие –
Ферми-Дирака и являются фермионами.Но не всегда статистика квазичастиц
совпадает со статистикой истинных частиц. Так, в системе электронов
имеются квазичастицы-плазмоны, являющиеся бозонами, хотя, как известно,
свободные электроны являются фермионами.
2.КРИСТАЛЛЫ
2.2.1. История познания кристаллографической симметрии
Под кристаллографической симметрией в узком, или точном, смысле
обычно понимают такую симметрию (кристаллов), группы которой могут быть
полностью описаны с помощью простых, винтовых и зеркальных осей 1,2,3,4
и 6-го порядка оси переносов и плоскости скользящего отражения. При
этом трансляции, связанные с плоскостями скользящего отражения и
винтовыми осями, часто представляются конечными.
Кристаллографическая, или структурная, симметрия в широком смысле
от этих ограничений освобождена. Она включает первую как свой частный
случай и стало быть в принципе может быть представленагруппами и
симметрией, опивываемыми простыми, зеркальными и винтовыми осями любых,
в том числе 5,7,8,…,? порядков, а также осями переносов и плоскостями
скользящего отражения.
В истории познания Кристаллографической симметрии следует
остановиться на трех моментах, характеризующих диалектичность процесса
познания.
Во-первых, познание симметрии кристаллов и кристаллографической
симметрии шло по спиралям путем отрицания отрицания. Именно: от живого
созерцания – блещущей внешней формы кристаллов – к абстрактному
мышлению – их внутреннему решетчатому строению, а от него, с одной
стороны, к практике – к величайшему использованию кристаллов в
производстве и в быту, с другой- снова к внешней форме кристаллов, но
увиденной уже и изнутри.
Во-вторых, в познании кристаллографической симметрии весьма
интересна сама история названия этого вида симметрии.Учение о ней,
первоначально возникнув вне связи с изучением кристаллов, а затем тесно
с ним переплетаясь и получив свое наименование, решительно вышло — не
без старания самих кристаллографов — за рамки чисто «кристаллического»
представления о симметрии. И здесь снова шел сложный диалектический
процесс познания.
Третий момент отмечен В. И. Вернадским: «Кристаллография, — пишет
он, — стала наукой только тогда, когда первые основатели
кристаллографии в XVII в. Гульельмини и Стеноп, а главным образом в
XVIII в. Роме де Лиль, Гаюи правильно приняли за основу построения
научного исследования одно свойство природных кристаллов как основное и
оставили без внимания отклонения в наружной форме кристаллов от
идеальных многогранников геометрии как вторичные. Этим единым исходным
свойством был принят правильно закон постоянства гранных углов,
открытый независимо Гульельмини и Стснсепом, так называемый закон
Стенопа. Вторичными свойствами явились размеры и форма кристаллических
плоскостей и ребер кристаллических многогранников. Исходя из этого
построили реальные полиэдры—модели природных кристаллов, в которых
ребра и плоскости, теоретически являющиеся функцией гранных углов,
выявились в своей реальной величине и форме, нарушенных в природных
кристаллах проявлением поверхностных сил.
Эти силы оставлены были вначале без внимания.
Так получились идеальные полиэдры геометрии. Такие полиэдры были
впервые построены Роме де Лилем в XVIII столетии. Они называются
кристаллическими многогранниками». Идеальные по своей форме кристаллы
стали рассматриваться как... реальные с истинной симметрией, а
отклоняющиеся от них — как ложные с искаженной симметрией. Первые в
природе встречаются один на одну или даже несколько тысяч, с большим
трудом их удается получить в лабораторных условиях. Вторые составляют,
если можно так выразиться, сверхподавляющую часть природных кристаллов.
Они легко получаются в лабораторных условиях.
Результат такой ориентации известен: на протяжении столетий
наиболее часто встречающиеся, а потому поистине реальные «ложные»
кристаллы с искаженной симметрией оставались вне поля зрения
кристаллографов, что отрицательно сказалось на общем уровне учения о
реальных кристаллах, Се.ичас положение выправляется. И все же в таких
поворотах внимания кристаллографов было некоторое оправдание:
невозможно изучать само отклонение, не зная того, от чего оно
отклоняется...
Закон постоянства гранных углов Стенона впоследствии дал начало
учению о морфологической симметрии кристаллов — основе учения о
симметрии любых фигур с особенной точкой. Напомним слова А.В Шубникова
об особенных элементах фигуры: «Точка (прямая, плоскость) фигуры (или
ее части) называется особенной, если она совмещается с собою всеми
операциями фигуры (или ее части). Особенные геометрические элементы
существуют в фигурах в единственном числе». Центр сферы, ось конуса,
поперечная плоскость цилиндра—соответственно особенные точка, линия,
плоскость; трехмерное пространство в классическом учении о
пространственной симметрии кристаллов — также особенный геометрический
элемент.
Существует несколько наименований фигур с особенными точками.
Чаще всего их называют конечными или строже точечными фигурами, реже —
фигурами симметрии нулевого измерения. Последние могут быть разделены
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6
|