Финансовые риски - (лекции)

Форвардный курс, например, рубля к доллару определяется по формуле: , где

    - форвардный курс рубля к доллару;
    - спот-курс рубля к доллару;
    - рублевая ставка, выраженная в долях единицы;
    - долларовая ставка, выраженная в долях единицы.

Разница между курсами спот и форвард составит форвардную маржу. При необходимости определения рублевой стоимости валютного кредита или наоборот, требуемая величина выражается из вышеприведенного уравнения: - для рублевой стоимости:

    - для валютной стоимости:
    ПРОЦЕНТНЫЙ И ВАЛЮТНЫЙ РИСКИ: ПРОДВИНУТЫЕ ТЕМЫ
    ПРОЦЕНТНЫЙ И ВАЛЮТНЫЙ РИСКИ КАК ЦЕНОВОЙ РИСК.

Цена [price] - это то, что человек платит за приобретение или использование чего-либо, имеющего ценность. Обладающий ценностью предмет может быть или товаром, или внутренним платежным средством (деньгами), или же иностранной валютой. Относительная цена, которую нужно платить за использование единицы других денег, называется процентной ставкой, а цена, которую платят в своей национальной валюте за единицу другой валюты, носит название обменного курса. [Цена - это согласие о ценности товара между участниками сделки в текущий момент времени, выражающееся в факте совершения сделки, при этом рыночная цена - это цена последней сделки (последняя цена, по которой совершались сделки, так называемая цена закрытия). ]

Рыночные равновесные цены и количество продаваемых товаров определяются силами коллективного взаимодействия спроса потребителей и предложения поставщиков. Формы кривых спроса и предложения в первую очередь являются зависимостями цены от количества товара, но не только - на цены воздействуют и изменения себестоимости продукции, и изменения цен других продуктов, и ожидания будущих условий спроса и предложения (рынок живет ожиданиями! ), и объемы рынка и т. д. [Попытки контролировать цены непродуманными способами служат помехой нормальным процессам работы рынка и вызывают, как правило, ситуации типа скачка давления в перегретом паровом котле, причем “сброс давления” часто носит почти взрывной характер. ] Изменения факторов, воздействующих на спрос и предложение, завершаются приспособлением рынка к новой ситуации посредством изменения цен. Такие изменения сами по себе не являются ни позитивными, ни негативными, так как отклики рынка посредством ценовых изменений являются существенными для процесса рационирования товаров на рынке и их размещения в местах наиболее продуктивного использования. Вместе с тем изменчивые цены подвергают отдельных людей, производящие фирмы и государственные власти значительным рискам. Эти риски в совокупности называются ценовыми рисками. Ценовой риск определяется как вероятность (возможность) отклонения будущей цены от ее ожидаемого значения. Отклонение от ожидаемой цены необязательно должно произойти в худшую сторону. Действительно, если ожидания несмещенные, то выгодные отклонения столь же вероятны, как и невыгодные. Тем не менее мы считаем любое отклонение от ожидаемой величины проявлением ценового риска: если мы хотим ограничить применение нашего определения риска только ситуациями с неблагоприятным исходом, то мы говорим о риске понести убытки; при рассмотрении ситуаций с благоприятными отклонениями будем говорить о риске недополучения прибыли. Определение ценового риска подсказывает способ его измерения: так как ценовой риск принимает форму отклонения от ожидаемой величины, то чем больше изменчивость цен, тем большему риску подвергается субъект рынка. Изменчивость цен (price volatility) характеризуется тремя показателями: величиной изменения цены, скоростью изменения цены и частотой изменения цены. Эта изменчивость выражается с помощью хорошо известных статистических характеристик - дисперсии и стандартного отклонения, причем стало общепринято отождествлять термины “изменчивость” (volatility) и “стандартное отклонение” (standard deviation). Почему нельзя спрогнозировать рынок? Корпорации, банки и другие учреждения на повышение изменчивости первоначально отреагировали привлечением большого количества экономистов для прогнозирования цен. Это интенсивное использование профессии экономиста привело ко множеству достижений в теории прогноза и прогнозном моделировании. В течение большей части этого периода для многих активов не существовало хорошо развитых форвардных (фьючерсных) рынков, чтобы можно было делать сравнительные рыночные прогнозы. Однако по мере появления все большего количества срочных рынков начала вырисовываться удручающая (и казавшаяся удивительной) картина: рыночные прогнозы в целом превосходили индивидуальные прогнозы экономистов. Нельзя сказать, что отдельным экономистам никогда не удавалось подойти ближе к правильному прогнозу цен, но они не делали этого столь регулярно, чтобы обеспечить более низкую изменчивость прогноза, чем ее обеспечивал рынок. Сегодня мы располагаем хорошо развитой теорией, объясняющей это явление. Эта теория, названная гипотезой эффективных рынков (efficient market hypothesis), утверждает, что рынок можно рассматривать как большое количество собирателей и распространителей информации. Каждый участник рынка собирает и обрабатывает информацию, однако полной картины нет ни у кого из них. Это значит, что каждый участник владеет только частью всей относящейся к делу информации. Покупая и продавая, отдельные участники рынка регистрируют свои частные прогнозы и передают свою частную информацию рынку в форме рыночной цены. Благодаря этому оказывается, что в рыночной цене отражена вся имеющаяся информация. Поэтому коллективный разум, представленный на рынке, осуществляет прогноз лучше, чем если бы прогноз предоставлял каждый отдельный экономист.

    НОРМАЛЬНОЕ И ЛОГНОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Нормальнымназывают распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью

Нормальное распределение определяется двумя параметрами: математическим ожиданием и средним квадратическим отклонениеми на графике представляет собой симметричную колоколообразную кривую Гаусса, имеющую максимум в точке, соответствующей значению, а при и асимптотически приближающуюся к оси абсцисс. Точка перегиба кривой находится на расстоянии от центра распределения. Изменение параметра приводит к изменению степени растяжения кривой: с уменьшениемкривая вытягивается в центре и быстрее приближается к оси абсцисс при удалении от центра.

Часто вместо случайной величины Х целесообразно рассматривать нормированную случайную величину , которую определяют как отношение отклонения к среднему квадратическому отклонению. Нормированная величина имеет математическое ожидание, равное нулю и дисперсию, равную единице. При а=0 и нормальную кривую называют нормированной. Ее уравнение:

Между абсциссами и расположено 68, 27% всей площади кривой нормального распределения. Это означает, что 68, 27% всех измеренных единиц отклоняется от среднего значения не более чем на, т. е. все они находятся в пределах . Площадь, заключенная между ординатами, проведенными на расстоянии с той и другой стороны от центра, составляет 0, 9545, т. е. 95, 45% всех единиц совокупности находятся в пределах. И наконец, 0, 9973 или 99, 73% всех единиц находятся в пределах . Это так называемое правило “трех сигм”, характерное для нормального распределения, согласно которому за пределами отклонения нанаходится не более 0, 27% всех значений величин, иными словами, 27 реализаций на 10 тыс. испытаний. Исходя изпринципа невозможности маловероятных событийтакие события можно считать практически невозможными. На практике правило трех сигм применяют так: если распределение изучаемой случайной величины неизвестно, но условие, указанное в приведенном правиле, выполняется, то есть основание предполагать, что изучаемая величина распределена нормально; в противном случае она не распределена нормально.

В технических приложениях принято при оценке результатов измерений работать с долями площади кривой нормального распределения, равными 95, 99 и 99, 9%. Этим значениям соответствуют ординаты, равные следующим долям среднего квадратического отклонения: +/-1, 96; 2, 576 и 3, 291.

Условия широкого применения нормального распределения связаны с центральной предельной теоремой Чебышева, которая утверждает, что распределение какого-либо признака (параметра) при действии на него большого числа независимых причин сводится к нормальному независимо от вида исходного распределения. Согласно неравенству Чебышева при любом типе распределения не менее 88% его значений будут в диапазоне +\- 3SD.

Логнормальное распределение- это распределение, в которой нормальное распределение имеет логарифм случайной величины:

Изменение цены актива в будущем - случайный процесс, который в принципе должен описываться нормальным распределением. В то же время для целей вероятностной оценки стоимости актива в теории пользуются не нормальным, а логнормальным распределением. Это обусловлено следующими причинами. Во-первых, нормальное распределение симметрично относительно ее центральной оси и может иметь как положительные, так и отрицательные значения; однако цена актива не может быть отрицательной. Во-вторых, нормальное распределение говорит о равной вероятности для значений переменной отклониться вверх или вниз. В то же время на практике, например, имеет место инфляция, которая оказывает давление на цены в сторону их повышения, а также сама временная сущность денег: стоимость денег сегодня меньше, чем стоимость денег вчера, но больше, чем стоимость денег завтра. Кривая логнормального распределения всегда положительна и имеет правостороннюю скошенность (асимметрично), т. е. она указывает на большую вероятность цены отклониться вверх. Поэтому если, допустим, цена актива составляет 50 долл. , то кривая логнормального распределения свидетельствует о том, что опцион пут с ценой исполнения 45 долл. должен стоить меньше опциона колл с ценой исполнения 55 долл. , в то время как в соответствии с нормальным распределением они должны были бы иметь одинаковую цену. Хотя нельзя надеяться, что приведенные исходные предположения в точности выполняются во всех реальных рыночных ситуациях, тем не менее принято считать, что логнормальное распределение достаточно хорошо как первое приближение в случае активов, которыми торгуют на конкурентных рынках аукционного типа для длинных рассматриваемых периодов.

    ВОЛАТИЛЬНОСТЬ

Участника рынка интересует не только (а зачастую и не столько) направление движения рынка, но и скорость этого движения, поскольку от нее зависит вероятность того, что стоимость актива “перешагнет” за “критические” для участника значения. Показателем такой скорости выступает стандартное отклонение цены актива, или, как его еще называют, волатильность. Стандартное отклонение это мера того, насколько широко разбросаны точки данных относительно их среднего. Стандартное отклонение свидетельствует о вероятности, с которой цена примет то или иное значение и задает меру отклонения цены актива от некоторой средней величины, т. е. характеризует риск, связанный с данным активом. [Общепринято задавать стандартное отклонение как процент отклонения цены актива от ее средней величины в расчете на год. ]

При анализе ценового риска принято работать не с самой последовательностью цен, а с последовательностью порождаемых ценой доходов в относительных величинах (доходностей). Последовательность доходностей имеет ряд преимуществ по сравнению с последовательностью цен. Во-первых, преобразуя последовательность цен в последовательность доходностей, мы добиваемся большей сравнимости различных последовательностей цен (различных активов); во-вторых, последовательность доходностей отличается большей стабильностью в том смысле, что для нее среднее и дисперсия в большей степени являются стационарными, чем среднее и дисперсия последовательности “необработанных” цен (по крайней мере, так принято считать). Вследствие этого в финансовой деятельности стало общепринятым использовать термин “ожидаемая доходность”, понимая под этим средний процентный доход, связанный с некоторой позицией, и использовать термин “риск”, имея в виду при этом стандартное отклонение процентного дохода, связанного с позицией. Также общепринятым стало относить эти доходности к периоду в один год, независимо от фактической длины базового периода. После этого уже будет уместным интепретировать ожидаемую доходность как среднюю ставку дохода, а риск - как стандартное отклонение ставки дохода (что, вообще говоря, далеко не всегда удобно в случаях, когда инвестиционный горизонт длиннее или короче, чем 1 год).

Наиболее часто для расчета волатильности используют два приема. Первый состоит в том, что в качестве переменной величины принимают отношение изменения цены к ее предыдущему значению, т. е.

    , где
    - - цена актива в конце i-го периода.

Второй метод заключается в том, что в качестве переменной величины принимают логарифм отношения последующей цены к цене предыдущей, а именно:

Первый прием представляет собой не что иное, как начисление процента за базовый период времени, равный 1 (через определенные равные промежутки времени); второй -непрерывное начисление процента. Результаты, получаемые с использованием первого или второго способов, не сильно отличаются друг от друга. Но: в предположении, что стохастический процесс динамики цен является стационарным и что последовательные изменения цен взаимно независимы, цены активов, которыми торгуют на конкурентных рынках, должны подчиняться логнормальному распределению; поэтому относительный доход должен иметь логнормальное распределение, эффективная доходность за базовый период также должна иметь логнормальное распределение со сдвигом влево на единицу, а доходность за базовый период при непрерывном начислении процентов должна иметь нормальное распределение. Поскольку параметры логнормального распределения в силу его асимметричности сложно использовать для статистических оценок, мы в дальнейшем будем использовать непрерывное начисление процента (с целью использования для работы нормального распределения! ), поэтомуволатильность- это выборочное стандартное отклонение логарифма отношения последней цены к цене предыдущей, выраженное в процентах годовых (стандартное отклонение непрерывной ставки процента):

    [% годовых] Почему корень?
    , где

- m - количество периодов выбранного масштаба в рабочем году (260 для дневного масштаба, 52 - недельного, 12 - месячного, 6 240 - часового, 12 480 для тридцатиминутного и 187 200 для тикового);

- n - размер выборки (длина окна), принятой для расчета волатильности (10, 20, 40, 252 и т. д. ).

    Отдельно необходимо поставить вопрос о понятии выборки.

Из задачи “о блуждании случайной точки” известно, что среднее квадратическое отклонение длинного периода равно произведению среднего квадратического отклонения короткого периода на корень квадратный из числа блужданий. Тогда:

    и, наконец, и ,

если под тиком понимать совершение сделки каждые две минуты. Полагая, чторавно текущему среднему спрэду, можно определить , или же по историческому среднему спрэду и исторической волатильности оценить количество совершенных за день сделок.

    ИНВЕСТИЦИОННЫЙ ГОРИЗОНТ И КРИТЕРИИ ДОПУСТИМЫХ ПОТЕРЬ

Задача состоит в определении лимита убытков и через него - определения основного торгового масштаба: длинная средняя равна среднему времени нахождения в торговой позиции.

    Основополагающие правила:
    - потеря не более 2% исходного капитала за одну сделку;
    - потеря не более 5-7% исходного капитала в месяц;

- максимальная бумажная потеря не более 10% исходного капитала; - потеря не более 50% бумажной прибыли;

    - соотношение прибыль/риск 3: 1.

Если SD месяц = SD день * корень (21 день) = 5%, то SD день = 1, 09%. Если 0, 02 = 0, 0112 * корень (число дней в сделке), то максимальное число дней в сделке = 3, 19.

Исходя из 2%-го ограничения все рынки с волатильностью свыше 32, 24% являются запретными для торговли:

    32, 24% / корень(260) = 2%.

Исходя из правила 5%-го ограничения потерь в месяц - запретными являются рынки с волатильностью 17, 32%:

    17, 32% / корень(12) = 5%

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9