Теория автоматического управления
Теория автоматического управления
20 1. Анализ устойчивости замкнутой системы1.1 Анализ устойчивости системы по корням характеристического уравненияЗапишем передаточную функцию разомкнутой системы:. (1)Передаточная функция замкнутой системы имеет вид:.Характеристическое уравнение замкнутой системы: (2)Корни характеристического уравнения (2):Характеристическое уравнение (2) имеет два правых корня, следовательно, данная замкнутая система неустойчива.1.2 Анализ устойчивости системы по алгебраическому критериюДля характеристического уравнения (2) замкнутой системы коэффициенты ai, i=0..3,а0=0.00008,a1=0.0078,a2= - 0.03,a3=48.Необходимым условием устойчивости системы является:ai>0, i=0..3Данное условие не выполняется (a2<0), следовательно, замкнутая система неустойчива.1.3 Анализ устойчивости системы по частотным критерияма) Критерий Найквиста (на комплексной плоскости)Используя передаточную функцию разомкнутой системы (1) запишем характеристическое уравнение разомкнутой системы:. (3)Найдем корни характеристического уравнения (3):Характеристическое уравнение разомкнутой системы (3) имеет один правый корень, следовательно, разомкнутая система неустойчива.Построим годограф Найквиста. Для этого определим частотную передаточную функцию разомкнутой системы и ее действительную и мнимую части. (4) (5) (6)Используя выражения (5) и (6), заполним таблицу:Таблица 1.3.1Построим годограф Найквиста (Рис. 1.3.1):Рис. 1.3.1Для случая, когда разомкнутая система неустойчива критерий Найквиста звучит следующим образом: для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф Найквиста охватывал особую точку (; ) в положительном направлении на угол , где l - число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.Число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы (3) равно единице (l=1), полученный годограф не охватывает особую точку (-1, j0) на угол lр=р (годограф охватывает особую точку в направлении по часовой стрелке), следовательно, критерий Найквиста не выполняется и система неустойчива.б) Критерий Найквиста (на плоскости ЛЧХ)Построим ЛЧХ заданной системы, для этого определим расчетные выражения для L(w) и ц(w): (7) (8)Для построения асимптотической ЛАЧХ найдем параметры:ЛФЧХ системы также можно построить как геометрическую сумму ЛФЧХ отдельных звеньев системы.Графики расчетных ЛЧХ, построенные по формулам (7) и (8) изображены на рисунке (1.3.2):Рис. 1.3.2wср(частота среза) - частота, соответствующая пересечению ЛАЧХ с осью lgw;wкр(критическая частота) - частота, соответствующая пересечению ЛФЧХ уровня -р;Система устойчива, если выполняется условие:wср< wкрДанное условие не выполняется, следовательно, система неустойчива. Аналогичный вывод можно сделать по асимптотической ЛАЧХ и ЛФЧХ системы, построенной как сумма отдельных звеньев, входящих в систему, изображенной на рисунке (1.3.3):в) Критерий МихайловаИспользуя характеристическое уравнение замкнутой системы (2) введем функцию Михайлова:, где,.Для заданной системы функция Михайлова примет вид: (9) (10)Графическое изображение функции Михайлова на комплексной плоскости при называется годографом Михайлова. Для устойчивости системы n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова начинался на вещественной положительной полуоси и при увеличении частоты до ? проходил последовательно в положительном направлении n квадрантов, нигде не обращаясь в ноль.Используя выражения (9) и (10), заполним таблицу:Таблица 1.3.3|
w | 0 | 77,625 | - | ? | | X(w) | 47 | 0 | - | -? | | Y(w) | 0 | -39,748 | 0 | -? | | | Построим годограф Михайлова (Рис. 1.3.4):Рис. 1.3.4Полученный годограф начинается на вещественной положительной полуоси, проходит 2 квадранта в отрицательном направлении, таким образом, критерий Михайлова не выполняется, следовательно, система неустойчива.2. Построение области устойчивости в плоскости параметра КрПостроим область устойчивости, используя критерий Гурвица.Запишем характеристическое уравнение замкнутой системы в общем виде:.Для конкретного случая характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид: (11)Для устойчивости системы КР должно удовлетворять необходимому условиюРис. 2.1Но заметим, что исходный КР удовлетворяет этому условию, и его изменением устойчивости замкнутой системы добиться невозможно, т. к. в ХУ ЗС (2.3) а2<0, и зависит этот коэффициент от постоянных времени.Построим область устойчивости в плоскости параметра Т2Необходимое условие устойчивости: Достаточное условие устойчивости для системы третьего порядка по критерию Гурвица имеет вид: Учитывая все условия:Рис. 2.23. Коррекция системыДля обеспечения устойчивости системы необходимо ввести корректирующее звено с передаточной функцией вида:Структурная схема скорректированной системы (Рис. 3.1):Рис. 3.1Передаточная функция скорректированной разомкнутой системы имеет вид: (12)Определим параметр Т из условия обеспечения минимального запаса устойчивости (Lзап=5 дБ).Запас по амплитуде определяется на критической частоте - частоте, на которой функция ц(w) принимает значение, равное -рРасчетное выражение для ц(w):, отсюда (13)Расчетное выражение для L(w): (14)Подставим найденное выражение Т (13) в функцию L(w) (14):На критической частоте значение функции L(w), исходя из условия обеспечения минимального запаса устойчивости, должно быть равно не менее 5 дБ.Из данного выражения найдем wкрwкр=308,4185, следовательно,Т=0,001198Анализируя данное значение и область устойчивости, найденную в п. 2, можно сделать вывод, что введение корректирующего звена с передаточной функцией обеспечит не только устойчивость системы, но и более чем минимальный запас устойчивости по амплитуде.4. Построение и анализ ЛЧХ системы и годографа Найквиста скорректированной системыИспользуя передаточную функцию скорректированной разомкнутой системы (12), запишем характеристическое уравнение скорректированной разомкнутой системы: (15)Найдем корни характеристического уравнения (15):Уравнение (15) имеет один правый корень, следовательно, скорректированная разомкнутая система неустойчива.Построим годограф Найквиста. Для этого определим частотную передаточную функцию скорректированной разомкнутой системы и ее действительную и мнимую части. (16) (17)Используя выражения (16) и (17), заполним таблицу:Таблица 4.1|
w | 0 | - | 328,8237 | ? | | P | -48 | 0 | -0,485 | 0 | | Q | 0 | - | 0 | 0 | | | Построим годограф Найквиста (Рис. 4.1): Рис. 4.1Для случая, когда разомкнутая система неустойчива критерий Найквиста звучит следующим образом: для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф Найквиста охватывал особую точку (; ) в положительном направлении на угол , где l - число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.Число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы равно единице (l=1), полученный годограф охватывает особую точку (-1, j0) на угол lр=р, следовательно, критерий Найквиста выполняется и система устойчива.Построим ЛЧХ разомкнутой скорректированной системы:Определим расчетные выражения для L(w) и ц(w): (18) (19)Для построения асимптотической ЛАЧХ найдем параметры:ЛФЧХ системы также можно построить как геометрическую сумму ЛФЧХ отдельных звеньев системы.Графики расчетных ЛЧХ, построенные по формулам (18) и (19), изображены на рисунке (4.2):Рис. 4.2wср(частота среза) - частота, соответствующая пересечению ЛАЧХ с осью lgw;wкр(критическая частота) - частота, соответствующая пересечению ЛФЧХ уровня -р;Система устойчива, если выполняется условие:wср< wкрДанное условие выполняется, следовательно, система устойчива. Запас устойчивости по амплитуде: Lзап= 5,8 дБЗапас устойчивости по фазе: цзап=0,2 радАналогичный вывод можно сделать по асимптотической ЛАЧХ и ЛФЧХ системы, построенной как сумма отдельных звеньев, входящих в систему.5. Анализ качества системы в переходном режимеОпределим прямые показатели качества, для этого построим переходную характеристику:, где (20) (21)Ф(s) - передаточная функция скорректированной замкнутой системы.Переходная характеристика, построенная по формуле (20), изображена на рисунке (5.1):Рис. 5.1По рисунку (5.1) определим: hmax=0.3; hуст=0.17; h(0)=0, время регулирования на уровне 0.05 (hуст-h(0)).Коридор: [0.95 (hуст-h(0)); 1.05 (hуст-h(0))].Коридор: [0.1615; 0.1785].Время регулирования: tрег= 0,15 с.Перерегулирование равно: (5.3).Определим показатель коллебательности. Используя передаточную функцию скорректированной замкнутой системы (21), запишем частотную передаточную функцию скорректированной замкнутой системы:Выделим действительную и мнимую части:Модуль частотной передаточной функции замкнутой системы: (22)Построим амплитудно-частотную характеристику, используя выражение (22) (Рис. 5.2):Рис. 5.2По рисунку (5.2) определим: ; .Показатель колебательности M есть отношение максимальной ординаты амплитудно-частотной характеристики замкнутой системы к начальной ординате:Определим запасы устойчивости системы.Найдем критическую частоту - частоту, на которой значение ц(w) равняется -р. (23)wкр=328,824Рассчитаем запас по амплитуде: (24)Запас по амплитуде: Lзап= 5,797 дБНайдем частоту среза - частоту, на которой значение L(w) равняется 0, используя выражение (24):wср=232,624Рассчитаем запас по фазе, используя выражение (23):Запас по фазе: цзап=0,168 рад.6. Анализ качества системы в установившемся режимеУстановившаяся ошибка системы равна: (25)еустХо=С0Х0(t)+ С1Х'0(t)+…еуст f =С0F0(t)+ С1F'0(t)+…Так как в заданном случае задающее и возмущающее воздействия - константы, необходимо найти лишь первые коэффициенты функций ошибок.Запишем передаточную функцию замкнутой системы по ошибке по задающему воздействию:Установившаяся ошибка системы по задающему воздействию:Запишем передаточную функцию замкнутой системы по ошибке по возмущению:Установившаяся ошибка системы по задающему воздействию:Рассчитаем установившуюся ошибку системы, используя выражение (25):Приведем размерность установившейся ошибки к размерности входного сигнала:;Система является статической как относительно возмущения, так и относительно задающего воздействия, установившаяся ошибка системы равна 7/282.
|
|