Разработка системы регулирования температуры смазочного масла турбины

Случайный процесс называют стационарным , если характеризующая его функция распределения не зависит от времени. Отсюда следует, что от времени не будут зависеть и все характеристики случайного процесса. Условие стационарнрсти значительно упрощает вычисление характеристик случайных процессов, так как в выражениях (2.1) - (2.8) исчезает аргумент времени. Однако и вэтом случае для вычисления характеристик необходимо достаточно большое количество независимых реализаций случайного процесса (ансамбль реализаций).

Эргодическая гипотеза позволяет заменить ансамбль реализацй одной реализацией снятой за достаточно продолжительный интервал времени. Согласно эргодической гипотезе средние значения случайного сигнала по множеству и времени совпвдают.

. (2.9)

Тогда для случайных стационарных эргодических процессов оценки их характеристик (2.1) - (2.8) с учетом конечности времени наблюдения Т , записываются в следующем виде.

1. Оценка математического ожидания

. (2.10)

2. Оценка дисперсии

, (2.11)

или . (2.12)

3. Оценка корреляционнгой функции

, (2.13)

где - центрированный случайный сигнал.

Корреляционную функцию центрированного сигнала еще называют ковариационной или автоковариационной функцией.

4. Спектральная плотность мощности , связанная с корреляционной функцией преобразованием Фуре.

. (2.14)

Для получения приемлемой точности оценох характеристик случайных процессов длительность реализации процесса по которой вычисляются оценки должна превышать интервал корреляции. Интервал корреляции ето значение аргумента корреляционной функции начиная с которого все ее последующие значения не превышают .

Более подробно о вычислении характеристик случайных процессов и их оценок можно познакомиться в специальной литературе [8, 12, 23, 25, 27, 31, 32, 38, 49, 54, 59, 63, 77, 99].

На рис.2.1- 2.4 приведены статистические характеристики временных трендов системы.

Рис. 2.1. Временные тренды входного и выходного сигналов

Рис. 2.2. Корреляционные функции входного и выходного сигналов.

Рис. 2.3. Спектральные плотности входного и выходного сигналов.

Рис. 2.4. Гистограммы входного и выходного сигналов.

3. Идентификация объекта управления по временным трендам

3.1 Основные понятия теории идентификации

Идентификация (отождествление) в технике связана с процессом построения модели исследуемого объекта. В дальнейшем под идентификацией понимается процесс построения математической модели технического устройства (объекта) по его измеряемым входным и выходным сигналам. При этом под объектом можно понимать любые материальные (физические процессы, технические объекты) и нематериальные (знаковые) элементы и системы Класс рассматриваемых моделей охватывает статические и динамические модели, описываемые соответственно алгебраическими и обыкновенными дифференциальными уравнениями.

С развитием и широким распространением быстродействующих вычислительных машин и аппаратуры дистанционного измерения и передачи данных (телеметрической аппаратуры) наметилась тенденция к полной автоматизации процессов построения математических моделей объектов и созданию адаптивных систем управления, самонастраивающихся микропроцессорных регуляторов для различных технических систем. Так, для идентификации широко привлекаются известные в статистике методы наименьших квадратов, максимального правдоподобия, стохастической аппроксимации и их разновидности [2, 3, 9, 23, 30, 32, 33, 73, 82, 99, 100].

Построение математической модели достаточно сложного объекта представляет собой довольно трудоемкий процесс, включающий этапы выбора вида и структуры модели идентифицируемого объекта, выбора или разработки метода и численных алгоритмов идентификации с учетом возможностей телеметрической аппаратуры и вычислительных средств, предварительной (первичной) обработки результатов телеизмерений, получения оценок характеристик модели, анализа этих оценок и проверки степени идентичности (адекватности) модели и реального объекта. Задача каждого из указанных этапов составляет весьма сложную проблему. Решение ее немыслимо без глубокого знания соответствующих дисциплин и теории. В целом же инженеру, работающему в области идентификации технических объектов, необходимо достаточно свободно ориентироваться в теории вероятностей, современной математической статистике и вычислительной математике, а также иметь представление о теории моделирования, теории управления и принципах построения и функционирования идентифицируемых объектов.

Рассмотрим более подробно воздействие среды на объект. Совокупность таких воздействий окружающего мира на объект можно разделить на две группы в соответствии с характером влияния среды на переменные состояния (фазовые координаты) объекта. В первую группу входят те воздействия, которые в точке приложения изменяют переменные состояния аддитивно. Это означает, что сигналы, пропорциональные этим воздействиям, суммируются с сигналами, пропорциональными соответствующим переменным состояния.

Эти воздействия называют «входными», или «внешними», воздействиями. В дальнейшем будем называть эти воздействия «входными». Входные воздействия могут быть полезными (управляющими сигналами u) и помехами (возмущающими воздействиями f).

Вторая группа воздействий внешней среды изменяет переменные состояния объекта косвенно, обычно не аддитивно. Эти воздействия приводят к изменению оператора объекта (системы) А, под которым понимают закон преобразования входных воздействий в выходные переменные объекта. Вторую группу воздействий будем называть операторной, а воздействия - операторными.

Так, например, повышение температуры электродвигателя приводит к падению мощности и даже выходу его из строя.

В общем случае входные и выходные воздействия могут описываться определенными функциями (обычно функциями времени). Математически соответствие между входной и выходной функциями можно записать в виде выражения

(3.1)

где A(f) - оператор, зависящий от возмущений (операторных воздействий); - вектор выходных координат объекта; - вектор управления (входа).

Оператор объекта является его математической характеристикой, т. е. математической моделью объекта.

Примерами операторов могут быть:

- оператор дифференцирования p:

; (3.2)

- дифференциальный оператор D(y) :

, (3.3)

- оператор обыкновенного линейного дифференциального уравнения n-го порядка L(y)

, (3.4)

- линейный интегральный оператор

, (3.5)

где  - функция веса объекта;

Математически операторы определяются в соответствующих пространствах, т. е. на множествах элементов, над которыми совершаются преобразования. Примерами таких пространств являются пространства: непрерывных функций; непрерывных функций, имеющих непрерывные производные до n-го порядка (n > 0); функций с суммируемым квадратом и т. д. Множества входных и выходных сигналов объектов и систем могут рассматриваться как те или иные метрические пространства [4,12, 13, 37, 44].

Формально оператор характеризуется структурой и параметрами. Так, структура дифференциального оператора (1.3) определяется его порядком n. Для оператора дифференциального уравнения (1.4) структура задается его порядком n, а параметрами служат величины ai(t), [i = 0, n]. Таким образом, задачу идентификации в общем виде можно ставить как задачу определения оператора объекта, преобразующего входные воздействия в выходные.

3.2 Основные задачи идентификации

Рассмотрим различные постановки задачи идентификации. Как уже отмечалось выше, в общем виде задача идентификации заключается в определении оператора объекта, преобразующего входные воздействия в выходные. В связи с этим выделят задачи структурной и параметрической идентификации.

При структурной идентификации определяют структуру и вид оператора объекта, или другими словами вид математической модели объекта.

После того как математическая модель объекта определена, проводят параметрическую идентификацию, заключающуюся в определении числовых параметров математической модели.

Задачей структурной идентификации является представление реального объекта управления в виде математической модели. Конкретный выбор математической модели зависит от типа объекта.

Для описания больших систем и объектов, таких как социальные, производственные, финансово-экономические, используются семиотические (знаковые) и лингвистические модели, базирующиеся на теории множеств и абстрактной алгебры.

В качестве математических моделей технических систем применяются дифференциальные уравнения в обыкновенных и частных производных. Причем при решении задач управления предпочтение отдается моделям в пространстве состояний и структурированным моделям, описываемым дифференциальными уравнениями в обыкновенных производных.

Задачу параметрической идентификации можно сформулировать следующим образом [29]. Пусть имеется полностью наблюдаемый и полностью управляемый объект, задаваемый уравнениями состояния

, (3.6)

где B - n-мерный вектор -столбец, а C - n-мерный вектор -строка, А - квадратная матрица размером . Элементы этих векторов А В и С неизвестные числа. Целью идентификации является определение этих чисел.

Под идентификацией в дальнейшем будем понимать нахождение параметров моделей объектов, предполагая, что уравнения моделей заранее известны и задаются с помощью обобщенной структурной схемы объекта (рис. 3.2), т.е. будем рассматривать вопросы параметрической идентификации.

Рис. 3.2

На схеме приняты следующие обозначения:

u и y - наблюдаемые входной и выходной сигналы;

x - ненаблюдаемая (скрытая) переменная, оцениваемая косвенно по сигналам u и y , получаемым в результате преобразования в системе операторами А В и H;

е1 и е2 - ненаблюдаемые помехи (случайные процессы типа белого шума);

f и v - ненаблюдаемые помехи (коррелированные во времени случайные сигналы, в некоторых случаях содержащие детерминированные составляющие);

A, B, C, E, G, H - операторы, вид которых известен, но неизвестны параметры.

Основными постановками задач идентификации являются:

- идентификация, или определение характеристик объекта (по значениям u и y определить операторы А, В иC);

- генерация случайных сигналов с заданными характеристиками, или определение характеристик сигналов (по значениям f или v определить оператор E или G, H);

наблюдение за скрытыми переменными, или определение переменных состояния (по наблюдаемым u и y, известным операторам A, B, C, E, G, H определить x).

Решение вышеназванных задач идентификации осуществляется методами параметрической и непараметрической идентификации. При использовании методов параметрической идентификации сразу определяются коэффициенты передаточной функции или уравнения объекта. Вторая группа методов используется для определения временных или частотных характеристик объектов, а также характеристик случайных процессов генерируемых объектами. По полученным характеристикам затем определяются передаточная функция или уравнения объекта. В настоящее время более широкое распространение получили методы параметрической идентификации.

3.3 Метод наименьших квадратов

Параметрическая идентификация моделей объектов позволяет сразу находить значения коэффициентов модели объекта по измеряемым значениям управляемого y и управляющего u сигналов объекта. При этом предполагается, что структура и порядок модели объекта уже известен. Измеряемые значения y и u представляются в виде временного ряда, поэтому в результате идентификации оцениваются параметры АРСС - модели объекта, или параметры его дискретной передаточной функции. Зная коэффициенты АРСС - модели и ее структуру можно перейти к непрерывным структурированным моделям и моделям в пространстве состояний, как это делалось в п. 2.4.

В задачах параметрической идентификации используются модели объекта с шумом измерений, задаваемые передаточными функциями и структурой рис. 3.2. Считая порядки моделей заданными, задачей параметрической идентификации стохастической системы считается определение оценок коэффициентов полиномов модели A,B,C и D по результатам измерений входа u(t) и выхода y(t). Свойства получаемых оценок (состоятельность, несмещенность и эффективность) зависят от характеристик внешних возмущений и метода идентификации, при этом существенную роль играет вид закона распределения внешних возмущений.

Важным преимуществом методов параметрической идентификации является возможность использования рекуррентных алгоритмов, позволяющих проводить текущую идентификацию в реальном времени при номинальных режимах работы объекта. Эти преимущества определили широкое использование методов параметрической идентификации в задачах управления и автоматизации. К таким методам относятся: метод наименьших квадратов, метод максимального правдоподобия и метод стохастической аппроксимации .

Страницы: 1, 2, 3, 4