Передача информации по каналу с решающей обратной связью

1) системы с ИОС и РОС обеспечивают одинаковую достоверность передачи при одинаковых суммарных затратах энергии сигналов в прямом и обратном каналах при условии, что эти каналы симметричны и имеют одинаковый уровень помех;

2) системы с ИОС обеспечивают более высокую достоверность передачи, чем Системы с РОС при относительно слабых помехах в обратном канале в отличие от прямого. При отсутствии помех в обратном канале системы с ИОС обеспечивают безошибочную передачу сообщений по основному каналу;

3) при сильных помехах в обратном канале более высокую достоверность обеспечивают системы с РОС;

4) при пачках ошибок в прямом и обратном каналах более высокую достоверность обеспечивают системы с ИОС.

Помехозащищенными (или корректирующими) называются коды, позволяющие обнаружить и исправить ошибки в кодовых комбинациях. Отсюда и деление этих кодов на две большие группы: 1) коды с обнаружением ошибок; 2) коды с обнаружением и исправлением ошибок.

Принципы обнаружения и исправления ошибок кодами хорошо иллюстрируются с помощью геометрических моделей. Любой n-элементный двоичный код можно представить n-мерным кубом (рис.1.2), в котором каждая вершина отображает кодовую комбинацию, а длина ребра куба соответствует одной единице. В таком кубе расстояние между вершинами (кодовыми комбинациями) измеряется минимальным количеством ребер, находящихся между ними, обозначается d и называется кодовым расстоянием Хэмминга.

Таким образом, кодовое расстояние -- это минимальное число элементов, в которых любая кодовая комбинация отличается от другой (по всем парам кодовых слов). Например, код состоит из комбинаций 1011, 1101, 1000 и 1100. Сравнивая первые две комбинации, путем сложения их по модулю 2 находим, что d=2. Сравнение первой и третьей комбинаций показывает, что и в этом случае d=2. Наибольшее значение d=3 обнаруживается при сравнении первой и четвертой комбинаций, а наименьшее d=1 -- второй и четвертой, третьей и четвертой комбинаций. Таким образом, для данного кода минимум расстояния dmin=l.

При n=1 n-мерный куб превращается в прямую длиной d=1, на одном конце которой располагается 1, а на другом -- 0. При n = 2 четыре возможные комбинации (N=22=4) располагаются на четырех вершинах квадрата. При этом комбинации 00 и 11, а также 10 и 01 отличаются друг от друга в двух разрядах, т.е. d=2.

Кодовое расстояние между двумя комбинациями двоичного кода равно числу единиц, полученных при сложении этих комбинаций по модулю 2, например 1001=11 и 0011=11. Такое определение кодового расстояния удобно при большой разрядности кодов. Так, складывая комбинации

10110101101

10000000010

00110101111,

определяем, что кодовое расстояние между ними d = 7.

При n = 3 восемь кодовых комбинаций размещаются в вершинах трехмерного куба.

Рис.1.2. Геометрическая модель двоичных кодов

Трехмерный куб строится так (рис.1.2), что одна из его вершин лежит в начале координат. Каждой вершине куба приписывается кодовая комбинация по следующему правилу: на i-м месте кодовой комбинации ставится 0, если проекция этой вершины на i-ю ось координат равна нулю, и 1, если проекция равна единице. Например, требуется узнать, какую следует записать комбинацию в вершине A6 (рис.1.2). Проецируя эту вершину на ось Х1, получим единицу. На втором месте комбинации запишется также 1 (проекция на ось X2 равна единице). Так как проекция на ось Х3 равна нулю (проекция в начало координат), то на третьем месте комбинации запишется 0. Следовательно, вся комбинация в вершине A6 запишется как 110.

Если использовать все восемь слов, записанных в вершинах куба, то образуется двоичный код на все сочетания. Как было показано, такой код является непомехоустойчивым. Если же уменьшить число используемых комбинаций с восьми до четырех, то появится возможность обнаружения одиночных ошибок. Для этого выберем только такие комбинации, которые отстоят друг от друга на расстояние d = 2, например 000, 110, 011 и 101. Остальные кодовые комбинации не используются. Если будет принята комбинация 100, то очевидно, что при ее приеме произошла одиночная ошибка.

Представленные комбинации построены по определенному правилу, а именно содержат четное число единиц, а принятая комбинация 100 - нечетное. Можно утверждать, что комбинация 100 образовалась при искажении разряда одной из разрешенных комбинаций, но определить, какая именно комбинация искажена, невозможно. Поэтому такие или подобные им коды называют кодами с обнаружением ошибок.

Кроме указанной группы комбинаций в том же трехмерном кубе может быть получена еще одна группа комбинаций с кодовым расстоянием d=2 (111, 001, 010 и 100). В этих кодовых комбинациях нечетное число единиц и каждая из комбинаций могут быть использованы для обнаружения ошибки, возникшей при передаче, так как при одиночном искажении в комбинации будет четное число единиц. Однако, если необходимо получить код с обнаружением одиночной ошибки, в передаче может участвовать только одна группа, т. е. четыре комбинации из возможных восьми. В противном случае получится непомехоустойчивый код, в котором будут встречаться комбинации с d=l.

Таким образом, в помехозащищенных кодах есть комбинации разрешенные, составленные по определенному правилу, и запрещенные, не соответствующие этому правилу.

Так, если из восьми комбинаций трехразрядного кода образованы четыре комбинации, позволяющие обнаружить одиночную ошибку (например, 111, 001, 010 и 100), то эти комбинации являются разрешенными, а остальные четыре (000, 011, 101 и 110) -- запрещенными, которые должны фиксироваться на приеме как искаженные. Иногда совокупность разрешенных кодовых комбинаций, которые при заданных возможных искажениях не могут перейти друг в друга, называют системой непереходящих сигналов.

Итак, видно, что построение помехоустойчивого кода (а код с обнаружением ошибки является простейшим типом такого кода) связано с недоиспользованием кодовых комбинаций, приводящим к так называемой избыточности. Избыточность означает, что из исходных символов можно построить больше комбинаций, чем их применено в данном коде.

Таким образом, установлено, что уменьшение числа используемых комбинаций приводит к повышению помехоустойчивости кода. Если идти дальше по этому пути и еще больше ограничить число разрешенных комбинаций, то можно создать код не только с обнаружением, но и с исправлением ошибки.

Выберем в трехмерном кубе такие вершины, кодовые обозначения которых отличались бы друг от друга на d=3. Такие вершины расположены на концах пространственных диагоналей куба. Их может быть только четыре пары: 000 и 111, 001 и 110, 100 и 011, 010 и 101. Однако из этих четырех пар для передачи можно брать только одну любую пару, так как большее число пар приведет к тому, что в передаче будут использоваться комбинации, отличающиеся друг от друга на d<3.

Код, образованный по такому правилу, может исправить одиночную ошибку или обнаружить две ошибки без их исправления. Пусть, например, передается код, состоящий из комбинаций 001 и 110. На приеме получена комбинация 100. Сравнение ее с исходными комбинациями показывает, что от комбинации 110 она отличается в одном (втором) разряде, а от комбинации 001 -- в двух разрядах. Если считать, что сделана одна ошибка, то полученную комбинацию 100 следует исправить на 110.

От разрешённой комбинации 001 отличаются нa d=l комбинации 011, 000 и 101, а от комбинации 110 -- комбинации 111, 100 и 010. Они и являются своеобразными комбинациями-спутниками, которые после приема можно относить к той или иной исходной комбинации.

Когда говорят об исправлении одиночной ошибки, считают, что вероятность двойной ошибки в канале связи пренебрежимо мала. Если такая вероятность достаточно велика, то код с d = 3 можно использовать для обнаружения двойных ошибок, но при этом исправить одиночную ошибку он уже не может. Действительно, если в нашем примере была принята комбинация 100, то нельзя утверждать, что была передана комбинация 110, так как при двойных ошибках это могла быть и искаженная комбинация 001.

Таким образом, дальнейшее повышение помехоустойчивости кода связано с увеличением кодового расстояния d, что приводит к увеличению избыточности (вместо восьми комбинаций используются только две).

Корректирующая способность кода зависит от кодового расстояния: а) при d=1 ошибка не обнаруживается; б) при d = 2 обнаруживаются одиночные ошибки; в) при d = 3 исправляются одиночные ошибки или обнаруживаются двойные ошибки. В общем случае

d = r + s + 1,

где d -- минимальное кодовое расстояние; r -- число обнаруживаемых ошибок; s -- число исправляемых ошибок.

При этом обязательным условием является r?s. Так, в нашем примере d = 3, и если r = s = l, то код может обнаружить одну ошибку и исправить ее. Если r =2, s=0, то код может только обнаружить две ошибки. Как следует из уравнения, для исправления одной ошибки и обнаружения двух ошибок необходимо, чтобы d = 2 + 1 + 1 =4. При d=4 может быть также вариант, когда r=3, s=0. Если d=5, то могут быть три варианта: r = s = 2; r=3, s=l; r = 4, s=0.

Если код только обнаруживает ошибки, то

d=r + l, т.е. r = d - 1.

Если код только исправляет ошибки, то

d=2s+1, т.е. s=(d - 1)/2

Итак, геометрические модели позволяют просто строить малоразрядные корректирующие коды. Однако при длине кода n>3 геометрической моделью пользоваться трудно, так как она должна быть многомерной. Поэтому для построения многоразрядных помехоустойчивых кодов используют различные правила и методики, к рассмотрению которых и перейдем.

Страницы: 1, 2, 3