Несимметричная многомаркерная кольцевая локальная сеть с буферами конечной емкости и ординарной дисциплиной обслуживания

Интервал времени между последовательными приходами маркеров на станции равен либо a при наличии хотя бы одного сообщения для передачи на АС кольца, либо , если ни на одной АС нет ни одного сообщения для передачи.

После того, как АС-адресат приняла сообщение, квитанция о приеме передается по кольцу на АС-отправитель этого сообщения. При получении квитанции о приеме АС-отправитель освобождается от переданного сообщения, отправляет маркер на очередную АС.

1.2 Математическая модель функционирования многомаркерной, несимметричной КЛВС с буферами , с 3 АС и 2-мя маркерами, с ординарной дисциплиной обслуживания

Рассмотрим несимметричную КЛВС с протоколом маркерного доступа, которая состоит из 3 абонентских станций, на i-тую АС поступает простейший поток сообщений интенсивности

На первой АС имеется буфер емкостью на второй АС буфер емкостью , на третьей АС буфер , которые служат для отправки сообщений по кольцу, а также есть приемные буфера, которые позволяют принимать любое количество сообщений. АС пронумерованы таким образом, что номер АС увеличивается по направлению движения свободных маркеров, причем после прохождения третьей АС свободный маркер поступает на первую АС. Для передачи сообщений используются 2 маркера.

Буфер на i-той станции назовем полностью свободным, если на АС нет сообщений для передачи и полностью занятым, если на АС имеется сообщений, подлежащих передаче.

Если свободный маркер поступает на свободную АС (не содержащую ни одного сообщения), то он немедленно отправляется на очередную АС. Если маркер поступает на АС, где имеется хотя бы одно сообщение, то немедленно начинается передача имеющихся сообщений в соответствии с дисциплиной обслуживания.

Дисциплина обслуживания - ординарная, т.е. при поступлении маркера на АС обслуживается не более одного сообщения, стоящего в очереди в момент прихода маркера.

Будем считать, что во время передачи сообщения все поступающие на эту АС сообщения, подлежащие передаче, теряются. Т.е. в этом случае на АС, с которой передаются сообщения, происходит блокировка буфера, в котором находились сообщения в момент прихода маркера. Время блокировки равно времени передачи сообщения, находившихся на АС-отправителе в момент прихода маркера.

Время перехода свободного маркера между соседними АС будем считать одинаковым для всех станций и равно . Скорость движения сообщения по кольцу такая же, как и скорость движения свободного маркера. Время, необходимое для передачи и приема сообщения в кольце, обозначим через a.

Интервал времени между последовательными приходами маркеров на станции равен либо a при наличии хотя бы одного сообщения для передачи на АС кольца, либо , если ни на одной АС нет ни одного сообщения для передачи.

После того, как АС-адресат приняла сообщение, квитанция о приеме передается по кольцу на АС-отправитель этого сообщения. При получении квитанции о приеме АС-отправитель освобождается от переданного сообщения, отправляет маркер на очередную АС.

1.3 Математическая модель функционирования многомаркерной, несимметричной КЛВС с N АС, с k маркерами (k=N) и буферами различной емкости

Рассмотрим несимметричную КЛВС с протоколом маркерного доступа, которая состоит из N абонентских станций, на i-тую АС поступает простейший поток сообщений интенсивности

На каждой АС имеется буфер с емкостью , который служит для отправки сообщений по кольцу, а также есть приемный буфер, который позволяет принимать любое количество сообщений. АС пронумерованы таким образом, что номер АС увеличивается по направлению движения свободных маркеров, причем после прохождения N-ой АС свободный маркер поступает на первую АС. Для передачи сообщений используются k маркеров, k=N.

Буфер на i-той станции назовем полностью свободным, если на АС нет сообщений для передачи и полностью занятым, если на АС имеется сообщений, подлежащих передаче.

Если свободный маркер поступает на свободную АС (не содержащую ни одного сообщения), то он немедленно отправляется на очередную АС. Если маркер поступает на АС, где имеется хотя бы одно сообщение, то немедленно начинается передача имеющихся сообщений в соответствии с дисциплиной обслуживания.

Дисциплина обслуживания - ординарная, т.е. при поступлении маркера на АС обслуживается не более одного сообщения, стоящего в очереди в момент прихода маркера.

Будем считать, что во время передачи сообщения все поступающие на эту АС сообщения, подлежащие передаче, теряются. Т.е. в этом случае на АС, с которой передаются сообщения, происходит блокировка буфера, в котором находились сообщения в момент прихода маркера. Время блокировки равно времени передачи сообщения, находившихся на АС-отправителе в момент прихода маркера.

Время перехода свободного маркера между соседними АС будем считать одинаковым для всех станций и равно . Скорость движения сообщения по кольцу такая же, как и скорость движения свободного маркера. Время, необходимое для передачи и приема сообщения в кольце, обозначим через a.

Интервал времени между последовательными приходами маркеров на станции равен либо a при наличии хотя бы одного сообщения для передачи на АС кольца, либо , если ни на одной АС нет ни одного сообщения для передачи.

После того, как АС-адресат приняла сообщение, квитанция о приеме передается по кольцу на АС-отправитель этого сообщения. При получении квитанции о приеме АС-отправитель освобождается от переданного сообщения, отправляет маркер на очередную АС.

Данная модель интересна тем, что любая станция может передавать сообщение (если оно имеется). Это объясняется тем, что количество маркеров совпадает с количеством станций. Это модель имеет также особенности и в виде матрицы переходов из одного периодического класса в другой.

2. Определение стационарных вероятностей состояний несимметричных, многомаркерных КЛВС

2.1 Определение стационарных вероятностей состояний многомаркерной, несимметричной КЛВС с буферами различной емкости, с N АС и k маркерами, с ординарной дисциплиной обслуживания

Будем рассматривать поведение КЛВС в моменты поступления маркеров на АС. В этом случае изменение состояний КЛВС образуют конечную цепь Маркова.

Под состоянием КЛВС будем понимать состояние всех АС кольца в момент поступления на них маркеров. Каждая АС может находиться всегда в одном из состоянии.

Все состояния КЛВС делятся на N периодических классов, каждый из которых содержит в рассматриваемом случае состояние.

Особенности протокола приводят к тому, что указанная цепь Маркова является неприводимой, периодической с периодом, равным N.

Некоторый j-тый класс (j{1,2,…, N}) соответствует поступлению некоторого фиксированного маркера на j-тую АС. Вероятности переходов из j-того периодического класса в (j+1) - ый образуют () матрицу.

Закодируем состояния КЛВС парами чисел (i, r), i=(), 0.Здесь i определяет класс состояний, т.е. равно номерам тех станций, на которых находятся маркеры, r определяет номер состояния.

Введем обозначение M=() - множество номеров тех станций, на которых находятся маркера, R=(), , l{1,…, N}, - обозначает количество сообщений на l-той АС. Также обозначим через P() - вектор-строку вероятностей состояний КЛВС.

Обозначим через - вероятность того, что за время на i-тую АС не поступит ни одного сообщения; - вероятность того, что за время на i-тую АС поступит m сообщений; - вероятность того, что за время на i-тую АС поступит m и более сообщений.

Так как поток сообщений пуассоновский, то имеем:

=

=

, i{1,2,…, N}

Изучая поведение КЛВС во вложенные Марковские моменты, получим следующую процедуру определения стационарных вероятностей сети.

Теорема. Стационарные вероятности рассматриваемой КЛВС вычисляются из соотношений:

P()=P() A(;)

(1)

где А - матрица вероятностей переходов из i-того периодического класса в состояние (i+1) - го класса, элементы которой вычисляются по формуле:

a()=++, времена вычисляются по следующим формулам:

а также вероятность перехода равна нулю, если:

1) >0 , Q={1,2,3,…, N}

2)

Доказательство:

P() - вектор-строка вероятностей состояний i-того периодического класса; матрица А размерности , элементами которой являются вероятности переходов из i-того периодического класса в (i+1) - ый.

Вследствие периодичности цепи Маркова если либо (i, j)(N, 1). Из этих рассуждений имеем Р(1)=Р(N)

Р(J)=P (J-1) J{2,3,…, N}, J определяет периодический класс.

J определяет те, станции на которых находятся маркеры в данном периодическом классе, с учетом постановки математической модели любой маркер может переходить только на соседнюю станцию. Это и обуславливает то, что маркер с N-ной станции переходит на первую АС.

Таким образом, учитывая условие нормировки, имеем процедуру (1) определения векторов стационарных вероятностей КЛВС.

Доказано.

Для обоснования правильности формул времени необходимо учитывать следующие положения:

1) если поступает сообщение, а соответствующий буфер занят полностью, то сообщение теряется, и при подсчете поступивших сообщений оно не учитывается;

2) если сообщение не передается, то из данного буфера оно никуда не может исчезнуть, поэтому если при переходе из некоторого состояния в соседнее какое-то сообщение теряется, то вероятность данного перехода равна 0;

3) при передаче сообщения из АС, на которой есть маркер, буфер данной станции блокируется;

4) со станции с маркером может передаваться не более одного сообщения.

5) на тех станциях, на которых нет маркеров, может быть вероятность равна единице в том случае, если в i-том периодическом классе и в (i+1) - вом буфер станции был полностью занят.

2.2 Определение стационарных вероятностей состояний многомаркерной, несимметричной КЛВС с буферами , с 3 АС и 2-мя маркерами, с ординарной дисциплиной обслуживания

Будем рассматривать поведение КЛВС в моменты поступления маркеров на АС. В этом случае изменение состояний КЛВС образуют конечную цепь Маркова.

Под состоянием КЛВС будем понимать состояние всех АС кольца в момент поступления на них маркеров. Каждая АС может находиться всегда в одном из состоянии.

Все состояния КЛВС делятся на 3 периодических классов, каждый из которых содержит в рассматриваемом случае 12 состояний.

Особенности протокола приводят к тому, что указанная цепь Маркова является неприводимой, периодической с периодом, равным 3.

Некоторый j-тый класс (j{1,2,3}) соответствует поступлению некоторого фиксированного маркера на j-тую АС. Вероятности переходов из j-того периодического класса в (j+1) - ый образуют матрицу.

Закодируем состояния КЛВС парами чисел (i, r), i=(), 011. Здесь i определяет класс состояний, т.е. равно номерам тех станций, на которых находятся маркера, r определяет номер состояния.

Введем обозначение M=() - множество номеров тех станций, на которых находятся маркера, R=(), , l{1,2,3}, - обозначает количество сообщений на l-той АС. Также обозначим через P() - вектор-строку вероятностей состояний КЛВС.

Обозначим через - вероятность того, что за время на i-тую АС не поступит ни одного сообщения; - вероятность того, что за время на i-тую АС поступит m сообщений; - вероятность того, что за время на i-тую АС поступит m и более сообщений.

Так как поток сообщений пуассоновский, то имеем:

=

=

, i{1,2,3}

Изучая поведение КЛВС во вложенные Марковские моменты, получим следующую процедуру определения стационарных вероятностей сети, которая является частным случаем теоремы из пункта 2.1: стационарные вероятности рассматриваемой КЛВС вычисляются из соотношений:

P (2,3)=P (1,2) A (1,2);

P (3,1)=P (2,3) A (2,3);

P (1,2)=P (3,1) A (3,1);

А - матрица вероятностей переходов из i-того периодического класса в состояние (i+1) - го класса, элементы которой вычисляются по формуле:

a()=

времена вычисляются по следующим формулам:

а также вероятность перехода равна нулю, если:

1) >0 , Q={1,2,3}

2)

Для обоснования правильности формул времени необходимо учитывать следующие положения:

1) если поступает сообщение, а соответствующий буфер занят полностью, то сообщение теряется, и при подсчете поступивших сообщений оно не учитывается;

2) если сообщение не передается, то из данного буфера оно никуда не может исчезнуть, поэтому если при переходе из некоторого состояния в соседнее какое-то сообщение теряется, то вероятность данного перехода равна 0;

3) при передаче сообщения из АС, на которой есть маркер, буфер данной станции блокируется;

4) со станции с маркером может передаваться не более одного сообщения;

5) на тех станциях, на которых нет маркеров, может быть вероятность равна единице в том случае, если в i-том периодическом классе и в (i+1) - вом буфер станции был полностью занят.

В приложении будет предоставлены матрицы переходов для рассматриваемой КЛВС. Обозначение означает, что маркеры находились на первой и второй станциях.

2.3 Определение стационарных вероятностей состояний многомаркерной, несимметричной КЛВС с буферами различной емкости, с N АС и k=N маркерами, с ординарной дисциплиной обслуживания

Будем рассматривать поведение КЛВС в моменты поступления маркеров на АС. В этом случае изменение состояний КЛВС образуют конечную цепь Маркова.

Под состоянием КЛВС будем понимать состояние всех АС кольца в момент поступления на них маркеров. Каждая АС может находиться всегда в одном из состоянии.

Все состояния КЛВС делятся на N периодических классов, каждый из которых содержит в рассматриваемом случае состояние.

Особенности протокола приводят к тому, что указанная цепь Маркова является неприводимой, периодической с периодом, равным N.

Некоторый j-тый класс (j{1,2,…, N}) соответствует поступлению некоторого фиксированного маркера на j-тую АС. Вероятности переходов из j-того периодического класса в (j+1) - ый образуют () матрицу. Зафиксируем некоторый маркер и будем рассматривать поведение сети в моменты поступления этого маркера АС.

Закодируем состояния КЛВС парами чисел (i, r), i=(), 0.Здесь i определяет класс состояний, т.е. равно номеру станции, на которой находятся маркеры, r определяет номер состояния.

Введем обозначение M=() - множество номеров тех станций, на которых находятся маркера, R=(), , l{1,…, N}, - обозначает количество сообщений на l-той АС. Также обозначим через P() - вектор-строку вероятностей состояний КЛВС.

Обозначим через - вероятность того, что за время на i-тую АС не поступит ни одного сообщения; - вероятность того, что за время на i-тую АС поступит m сообщений; - вероятность того, что за время на i-тую АС поступит m и более сообщений.

Так как поток сообщений пуассоновский, то имеем:

=

=

, i{1,2,…, N}

Изучая поведение КЛВС во вложенные Марковские моменты, получим следующую процедуру определения стационарных вероятностей сети, которую можно записать в виде:

P()=P() A

где А - матрица вероятностей переходов из i-того периодического класса в состояние (i+1) - го класса, элементы которой вычисляются по формуле:

a()=++,

времена вычисляются по следующим формулам:

а также вероятность перехода равна нулю, если:

1) >0 , Q={1,2,3,…, N}

2)

Для обоснования правильности формул времени необходимо учитывать следующие положения:

1) если поступает сообщение, а соответствующий буфер занят полностью, то сообщение теряется, и при подсчете поступивших сообщений оно не учитывается;

2) если сообщение не передается, то из данного буфера оно никуда не может исчезнуть, поэтому если при переходе из некоторого состояния в соседнее какое-то сообщение теряется, то вероятность данного перехода равна 0;

3) при передаче сообщения из АС, на которой есть маркер, буфер данной станции блокируется;

4) со станции с маркером может передаваться не более одного сообщения.

5) на тех станциях на которых нет маркеров может быть вероятность равна единице в том случае, если в i-том периодическом классе и в (i+1) - вом буфер станции был полностью занят.

3 Характеристики функционирования несимметричных, многомаркерных КЛВС

3.1 Характеристики функционирования многомаркерной, несимметричной КЛВС с буферами различной емкости, с N АС и k маркерами (1<N<k), с ординарной дисциплиной обслуживания

Следующие характеристики определяют эффективность функционирования рассматриваемой КЛВС:

1) вероятность того, что в сети нет сообщений (все АС свободны) :

Верность данной формулы очевидна, т. к. чтобы в сети не было сообщений, необходимо, чтобы на любой станции не было ни одного сообщения в любом периодическом классе, т.е. при любом расположении маркеров в КЛВС на станциях буфера должны быть пусты.

2) вероятность того, что все АС заняты (т.е. на каждой станции имеется хотя бы одно сообщение) :

Справедливость данной формулы следует из того, что АС занята, когда на ней есть хотя бы одно сообщение, т.е. . Сумма по i от 0 до N-1 означает, что мы любым фиксированным маркером прошли все кольцо и вернулись в начальное состояние.

3) вероятность того, что все АС полностью заняты (т.е. на каждой АС все буфера полностью заняты) :

Справедливость данной формулы следует из того, что АС полностью занята, когда на ней есть ровно сообщений. Сумма по i от 0 до N-1 означает, что мы любым фиксированным маркером прошли все кольцо и вернулись в начальное состояние.

4) среднее число занятых станций :

Выражение означает, что мы суммируем те вероятности при которых на станциях буфер не пустой. Если же на станции нет сообщений для передачи, то индикатор равен 0 и вероятность обнуляется.

5) вероятность того, что l-тая АС занята :

Эта формула справедлива для любой фиксированной АС.

6) коэффициент загрузки l-той АС :

Справедливость данной формулы следует непосредственно из формулы (6) и того факта, что загрузка АС означает разницу между единицей и вероятностью того, что она свободна.

7) среднее время обслуживания сообщений на l-той АС :

Нам необходимо для отыскания этой характеристики посмотреть время обслуживания сообщений в каждом конкретном периодическом классе для заданной АС, очевидность формулы вытекает из предыдущих рассуждений.

8) среднее время обслуживания в сети .

Верность следует из формулы (7).

3.2 Характеристики функционирования состояний многомаркерной, несимметричной КЛВС с буферами , с 3 АС и 2-мя маркерами, с ординарной дисциплиной обслуживания

Следующие характеристики определяют эффективность функционирования рассматриваемой КЛВС:

1) вероятность того, что в сети нет сообщений (все АС свободны) :

2) вероятность того, что все АС заняты (т.е. на каждой станции имеется хотя бы одно сообщение) :

3) вероятность того, что все АС полностью заняты (т.е. на каждой АС все буфера полностью заняты) :

4)

5) среднее число занятых станций :

6)

7) вероятность того, что l-тая АС занята :

8)

9) коэффициент загрузки l-той АС :

10)

11) среднее время обслуживания сообщений на l-той АС :

12)

8) среднее время обслуживания в сети :

Верность данных формул была показана в пункте 3.1.

3.3 Характеристики функционирования состояний многомаркерной, несимметричной КЛВС с буферами различной емкости, с N АС и k=N маркерами, с ординарной дисциплиной обслуживания

Следующие характеристики определяют эффективность функционирования рассматриваемой КЛВС:

1) вероятность того, что в сети нет сообщений (все АС свободны) :

2) вероятность того, что все АС заняты (т.е. на каждой станции имеется хотя бы одно сообщение) :

3)

4) вероятность того, что все АС полностью заняты (т.е. на каждой АС все буфера полностью заняты) :

5) среднее число занятых станций :

6) вероятность того, что l-тая АС занята :

7) коэффициент загрузки l-той АС :

Заключение

Кольцевые локальные вычислительные сети с маркерным доступом широко используются не только в радиоэлектронной и аэрокосмичной промышленности, но также и в современных системах связи. Многомаркерные КЛВС дают возможность передачи информации сразу с нескольких станций одновременно. Кольцевые локальные вычислительные сети (КЛВС) с маркерным доступом являются одним из наиболее распространенных и стандартизированных международными организациями.

Многомаркерные КЛВС с одной линией связи, ординарной дисциплиной обслуживания и конечными буферами в постановке, приведенной в дипломной работе, в известной литературе не встречались.

В дипломной работе разработаны математические модели, описывающие функционирование несимметричных КЛВС с несколькими маркерами, конечными буферами и ординарным обслуживанием сообщений на АС; предложен аналитический аппарат, позволяющий определить вероятности состояний КЛВС из векторно-матричных систем уравнений, выведены формулы для характеристик, описывающих особенности функционирования сетей.

Список используемых источников

1. Бакс В. Кольцевые локальные сети с маркерным доступом и их производительность // ТИИЭР. - т. 77, №2. - С. 121-142.

2. Бураковский В.В., Медведев Г.А. Кольцевая локальная сеть с протоколом маркерного доступа // Техника средств связи. Сер. Системы связи. - 1990. - Вып. 7. - С. 9-16.

3. Бураковский В.В., Медведев Г.А. Характеристики локальных вычислительных сетей с протоколами маркерного доступа // Материалы всесоюзной научно-технической конференции Микросистема-92: Тез. докладов. - Томск, 1992. - С. 44-46.

4. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. - М.: Наука, 1987. - 336 с.

5. Протоколы информационно-вычислительных сетей: Справочник / Под ред. Мизина И.А., Кулешова А.П. - М.: Радио и связь, 1990. - 504 с.

6. Пятибратов А.П., Беляев С.Н., Козырева Г.М. и др. Вычислительные машины, системы и сети: Учебник / Под ред. проф. А.П. Пятибратова. - М.: Финансы и статистика, 1991. - 400 с.

7. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. - М.: Мир, 1984. - т. 1. - 527 с.

Страницы: 1, 2