Четырехполюсники, электрические фильтры
p align="left">Передаточная функция реального ФНЧH1 Полоса пропускания Полоса задерживания H22 f2 f22 f Рис.2.1. Передаточные функции идеального и реального фильтров нижних частот Количественную оценку избирательности фильтра целесообразно производить с помощью коэффициента прямоугольности передаточной функции по напряжению или мощности. Для расчета коэффициента прямоугольности передаточной функции фильтра введем в рассмотрение передаточную функцию по мощности, которую определим следующим образом. Максимально возможная мощность, которая может быть выделена в нагрузке в случае идеального фильтра, определяется по формуле: где U1 - действующее значение входного напряжения; R - сопротивление нагрузки. Фактическая мощность, выделяемая в нагрузке реального фильтра, определяется действующим значением выходного напряжения, которое зависит от частоты входного напряжения: Передаточной функцией по мощности будем называть отношение мощности, выделяемой в нагрузке реального фильтра (2.2) к мощности, выделяемой в нагрузке, идеального фильтра: Таким образом, передаточная функция по мощности есть квадрат передаточной функции по напряжению (2.3). Отметим, что в известных учебниках по ОТЦ частотные характеристики фильтров оцениваются затуханием, которое выражается в децибелах (дБ): Из этой формулы следует, что фактически производится оценка затухания (ослабления) сигнала по мощности. Поскольку физический смысл формулы (2.4) спрятан под знаком логарифма, постольку в дальнейшем будем пользоваться более простой формулой (2.3), физический смысл которой более прост и понятен. Расчет коэффициента прямоугольности передаточной функции по мощности ФНЧ будем производить следующим образом. Определим частоту, на которой передаточная функция по мощности составляет 5% от максимума: За пределами этой частоты будем считать, что передаточная функция равна нулю Определим полную площадь под кривой передаточной функции (Рис.2.1): Определим также площадь под кривой передаточной функции в пределах полосы пропускания (0…f2), где передаточная функция по напряжению а передаточная функция по мощности (Рис.2.1): Коэффициентом прямоугольности передаточной функции по мощности будем называть отношение найденных площадей: По физической сущности коэффициент прямоугольности представляет собой коэффициент полезного использования площади под кривой передаточной функции по мощности и дает представление о степени соответствия реального фильтра идеальному с той же полосой пропускания. 2.4 Емкостной фильтр нижних частот 2.4.1 Частотные характеристики емкостного фильтра нижних частот первого порядка (ФНЧ-1) Рассмотрим электрическую схему, изображенную на Рис.2.3, которая представляет собой простейший фильтр нижних частот первого порядка (ФНЧ-1). . 1 2 С R 1' 2' Рис.2.3. Емкостной фильтр нижних частот (ФНЧ-1) Работа ФНЧ-1: При При На малых частотах емкость обладает большим сопротивлением и поэтому весь проходит только через резисторы r, R, не ответвляясь в емкость. На больших частотах емкость обладает малым сопротивлением. Она закорачивает нагрузку и поэтому выходное напряжение мало. Определим для этого фильтра АЧХ и ФЧХ, рассматривая его как Г-образный 4х-П, нагруженный активным сопротивлением R. Сопротивления плеч фильтра: Коэффициенты формы А: Уравнение связи входного и выходного напряжений (1.6): где - эквивалентное сопротивление при параллельном соединении R и r. Из (2.8) получаем фазо-частотную характеристику ФНЧ-1: Передаточные функции ФНЧ-1 принимают вид: где - значение передаточной функции на частоте щ=0. Теперь, по формулам (2.9) и (2.10) можно, при известных значениях R, r, C-элементов, рассчитать и построить графики АЧХ и ФЧХ простейшего фильтра нижних частот (ФНЧ-1). При изучении частотных характеристик фильтров удобно пользоваться АЧХ ФЧХ в параметрической форме. Для этого необходимо ввести в рассмотрение приведенную, или так называемую нормированную частоту, которая, в данном случае, определяется по формуле где - граничная частота, на которой реактивное сопротивление емкости равно активному сопротивлению Запишем (2.9) и (2.10) в параметрической форме: Параметрические функции (2.11) и (2.12) позволяют проводить общий анализ АЧХ и ФЧХ фильтра при заданных значениях R, r-элементах и произвольном значении емкости С. Пример 2. Рассчитать и построить графики при следующих исходных данных: R=100 Ом - сопротивление нагрузки; r=5 Ом - внутреннее сопротивление источника. Оценить коэффициент прямоугольности передаточной функции по мощности. Результаты расчетов представлены на Рис.2.4 и Рис.2.5. Из этих рисунков видно, что передаточная функция по мощности при частоте н=0 принимает значение H(0)=0,98, а затем плавно уменьшается с увеличением частоты. Коэффициент прямоугольности этой функции составляет всего П=0,545. Это означает, что данный фильтр соответствует идеальному фильтру на 54,5%. Сдвиг фаз между входным и выходным напряжениями изменяется от 0 до 900. При этом выходное напряжение опережает входное. 2.4.2 Синтез емкостного фильтра нижних частот первого порядка Синтез (проектирование) любого технического устройства начинается с разработки технического задания (ТЗ), в котором приводятся исходные данные и формулируются требования к устройству. Применительно к ФНЧ-1 техническое задание на его проектирование можно изложить следующим образом: 1. Спроектировать емкостной фильтр нижних частот, схема которого приведена на Рис.3.2. 2. На вход фильтра подаются сигналы синусоидальной формы, частота которых изменяется от 0 до ?. 3. Сопротивление нагрузки R, а внутреннее сопротивление источника r, (R>>r). 4. Передаточная функция по напряжению на нижней границе полосы пропускания (f1=0) должна принимать значение, близкое к единице, а на верхней границе f2 передаточная функция должна принимать значение H(f2)=H1. 5. Определить потребное значение емкости, рассчитать АЧХ и ФЧХ фильтра, оценить коэффициент прямоугольности передаточной функции по мощности. В условиях данной задачи неизвестной величиной является только емкость, которую достаточно просто можно найти из уравнения передаточной функции. Однако, в интересах общности изложения последующего материала воспользуемся передаточной функцией в параметрической форме (2.14), из которой найдем значение приведенной частоты 2, на которой передаточная функция (2.12) принимает заданное значение H1: Очевидно, что (2.14) имеет смысл только при H1<H0. Теперь формулу (2.11) можем записать в виде откуда находим потребное значение емкости для построения ФНЧ-1 Рис.3.2: Пример 2.2. Спроектировать ФНЧ-1 Рис.2.3 при следующих исходных данных: R=100 Ом - сопротивление нагрузки; r=5 Ом - внутреннее сопротивление источника; f2=1000 Гц - верхняя граница полосы пропускания; H1=H(f2)=0,707 - значение передаточной функции на верхней границе полосы пропускания; 1=(f2)=0,5 - значение передаточной функции по мощности на верхней границе полосы пропускания. Рассчитать АЧХ и ФЧХ фильтра, оценить коэффициент прямоугольности передаточной функции по мощности. Результаты расчетов представлены на Рис.2.6 и Рис.2.7. Из этих рисунков видно, что на верхней границе полосы пропускания f2=1000 Гц передаточная функция по мощности (f2)=0,5, что соответствует требованиям технического задания. Сдвиг фаз между входным и выходным напряжениями (f2)=42,071 град. Коэффициент прямоугольности передаточной функции по мощности составляет П=0,545. Потребное значение емкости для построения ФНЧ-1 Рис.3.2 составляет С=30,17 мкФ. 2.5 Г-образный фильтр нижних частот (ФНЧ-2) 2.5.1 Частотные характеристики ФНЧ-2 В целях повышения коэффициента прямоугольности передаточной функции по мощности применяют фильтры нижних частот второго порядка, в состав которых входят два реактивных элемента: L и C. Рассмотрим Г-образный ФНЧ, схема которого представлена на Рис.2.8 (см.также Рис.1.6). L Z1 Z2 C R Рис.2.8. Электрическая схема Г-образного ФНЧ Работа Г-образного ФНЧ: при при На малых частотах индуктивное сопротивление мало, а емкостное сопротивление велико, поэтому ток проходит в нагрузку с малым ослаблением, не ответвляясь в емкость. На больших частотах индуктивное сопротивление велико, а емкостное сопротивление мало. Ток, прошедший через индуктивность, закорачивается емкостью. Поэтому выходное напряжение мало. Определим АЧХ и ФЧХ Г-образного ФНЧ, рассматривая его как Г-образный 4х-П, нагруженный активным сопротивлением R. Комплексные сопротивления плеч фильтра: Коэффициенты формы А: Уравнение связи входного и выходного напряжений (1.6) принимает вид: Обозначим, как и ранее, действительную и мнимую части (2.16): - действительная часть; - мнимая часть. Уравнение (2.16) запишем в виде: Фазочастотная характеристика ФНЧ-2 определяется по формуле: Комплексная передаточная функция по напряжению определяется из (2.17): Модули передаточных функций по напряжению и мощности принимают вид: Таким образом, при известных значениях R, L, C-элементов, по формулам (2.18), (2.20) можно рассчитать и построить графики АЧХ и ФЧХ Г-образного ФНЧ. С целью общего анализа частотных характеристик Г-образного ФНЧ представим передаточные функции (2.20) в параметрической форме, для чего обозначим: После подстановки обозначений в (2.20) получим передаточные функции в параметрической форме: Пример 2.3. Рассчитать и построить семейство кривых передаточной функции по мощности в параметрической форме для трех значений коэффициента нагрузки: Определить коэффициент прямоугольности передаточной функции по мощности при Расчет передаточной функции по мощности, выполненный по формуле (2.21) приведен на Рис.2.9. Из Рис.2.9 следует, что при Q1=0,8 передаточная функция достигает своего максимума, равного 1,86, а затем плавно уменьшается, Этот всплеск передаточной функции может быть желательным или нежелательным в зависимости от конкретного назначения фильтра. При Q2=1 всплеск передаточной функции значительно меньше и при он вовсе отсутствует. Таким образом, характер изменения передаточной функции Г-образного ФНЧ целиком определяется значением коэффициента нагрузки Q, который, в свою очередь, зависит от комбинации значений RLC-элементов. Следовательно, путем соответствующего выбора LC-элементов можно изменить форму кривой передаточной функции. Коэффициент прямоугольности передаточной функции по мощности при составляет П=0,807, что значительно больше, чем у ФНЧ-1. 2.5.2 Синтез Г-образного фильтра нижних частот Техническое задание на проектирование Г-образного ФНЧ формулируется следующим образом. 1. Спроектировать Г-образный ФНЧ, схема которого представлена на Рис.2.8. 2. На вход фильтра подаются сигналы синусоидальной формы, частота которых изменяется от нуля до бесконечности. 3. Передаточные функции по напряжению и мощности в полосе пропускания (0…f2), должны быть максимально плоскими, т.е. не иметь всплесков, превышающих единицу, и на верхней границе полосы пропускания должны принимать значения . 4. Сопротивление нагрузки чисто активное, равное R. 5. Рассчитать потребные значения индуктивности и емкости для построения фильтра. Построить графики АЧХ и ФЧХ, оценить коэффициент прямоугольности передаточной функции по мощности. Порядок проведения расчетов состоит в следующем. Из анализа ТЗ и формул передаточных функций (2.20) следует, что при заданных значениях необходимо найти два неизвестных параметра L и C, при которых фильтр будет удовлетворять требованиям технического задания. Другими словами, необходимо найти такие значения L, С-элементов, при которых передаточная функция H() проходит через точку на плоскости с координатами 2, H1. Математически это означает, что для определения двух неизвестных необходимо составить два независимых уравнения и решить эту систему относительно L и С. Для составления первого уравнения необходимо из семейства кривых Рис.2.9 выбрать кривую, которая соответствует требованиям ТЗ, и по ней при заданном значении найти значение приведенной частоты 2. В данном случае требованиям ТЗ удовлетворяет передаточная функция , построенная при . Точное значение приведенной частоты определяется путем решения уравнения: Результаты расчетов по формуле (2.22) при приведены в таблице 2.1. Таблица 2.1. |
H1 | 0.707 | 0.6 | 0.5 | 0.4 | 0.3 | 0.2 | 0.1 | | 2 | 1.0 | 1.55 | 1.316 | 1.513 | 1.783 | 2.213 | 3.154 | | |
Найденная приведенная частота 2 связана с верхней границей полосы пропускания и неизвестной резонансной частотой 0 следующим соотношением: Отсюда получаем первое независимое уравнение для определения неизвестных LC-элементов Выбранная кривая передаточной функции построена при . Следовательно, второе независимое уравнение можно записать в виде: Совместное решение (2.23) и (2.24) дает формулы для определения неизвестных LC-элементов: Теперь по формулам (2.18), (2.20), и (2.25) можно рассчитать потребные значения LC-элементов для построения Г-образного ФНЧ, а также рассчитать и построить графики АЧХ и ФЧХ этого спроектированного фильтра. Пример 2.4. Спроектировать Г-образный ФНЧ, схема которого представлена на Рис.2.8: Исходные данные: R=100 Ом - сопротивление нагрузки; f2=1000 Гц - верхняя граница полосы пропускания; H(f2)=0,707 - значение передаточной функции по напряжению на верхней границе полосы пропускания. Требование к фильтру: передаточные функции по напряжению и мощности в полосе пропускания должны быть максимально плоскими, т.е. не иметь всплесков и провалов. Решение. Из Рис.2.9. выбираем кривую , которая удовлетворяет требованиям технического задания. Из таблицы 2.1 по заданному значению Н1=Н(f2)=0,707 выбираем соответствующее значение приведенной частоты 2=1. По формулам (2.25) определяем потребные значения LC-элементов для построения Г-образного ФНЧ. По формулам (2.18) и (2.20) рассчитываем АЧХ и ФЧХ спроектированного фильтра и оцениваем коэффициент прямоугольности передаточной функции по мощности этого фильтра. Результаты расчетов приведены на Рис.2.10 и Рис.2.10а. Из этих результатов главными являются найденные значения индуктивности и емкости: L=23 мГн и С=1,125 мкФ, при которых передаточные функции на верхней границе полосы пропускания принимают заданные значения: Следовательно, спроектированный Г-образный ФНЧ удовлетворяет требованиям технического задания. Коэффициент прямоугольности передаточной функции по мощности Г-образного ФНЧ составляет П=0,807. Отметим, что изложенный порядок проектирования носит общий характер и может применяться в среде Mathcad при любой комбинации исходных данных: H1, f2, R, Q. 2.6 Т-образный фильтр нижних частот 2.6.1 Частотные характеристики Т-образного фильтра нижних частот В целях дальнейшего повышения коэффициента прямоугольности применяют фильтры третьего порядка, к числу которых относится Т-образный ФНЧ, изображенный на Рис.2.11. L1 L2 Z1 Z3 Z2 C R Рис.2.11. Электрическая схема Т-образного ФНЧ Работа Т-образного ФНЧ На малых частотах индуктивные сопротивления Z1, Z3 малы, а емкостное сопротивление Z2 велико, поэтому ток проходит в нагрузку с малым ослаблением. На больших частотах на пути тока в нагрузку стоят два больших сопротивления индуктивностей L1 и L2, а ток, прошедший через L1 закорачивается малым емкостным сопротивлением. Определим АЧХ и ФЧХ Т-образного ФНЧ, рассматривая его как Т-образный 4х-П, нагруженный активным сопротивлением R. Комплексные сопротивления плеч фильтра: Коэффициенты формы А: где - коэффициент асимметрии фильтра, который может быть выбран в пределах Уравнение связи входного и выходного напряжений: Фазо-частотная характеристика фильтра определяется по формулам (1.8), а передаточная функция по напряжению рассчитывается по формуле (1.10). Таким образом, при известных значениях RLC - элементов можно рассчитать и построить графики АЧХ и ФЧХ Т-образного ФНЧ, используя формулы (1.8), (1.10) и (2.26). Представим, как и ранее для Г-образного ФНЧ, передаточные функции по напряжению и мощности в параметрической форме: Пример 2.5. Рассчитать и построить семейство кривых передаточной функции по мощности в параметрической форме (2.27) для трех значений коэффициента нагрузки: Результаты расчетов представлены на Рис.2.12. Из Рис.2.12 следует, что для Т-образного несимметричного ФНЧ оптимальным значением коэффициента нагрузки следует считать Q2=1,0 при коэффициенте асимметрии , который был определен в результате предварительных исследований. Коэффициент прямоугольности передаточной функции по мощности Т-образного несимметричного ФНЧ при Q=1 и равен П=0,905. 2.6.2. Синтез Т-образного фильтра нижних частот Поставим задачу спроектировать Т-образный несимметричный ФНЧ по ТЗ на проектирование Г-образного ФНЧ. Из Рис.2.11 видно, что в состав Т-образного фильтра входят три неизвестных реактивных элемента: L1, L2 и С, которые необходимо определить. Следовательно, для определения трех неизвестных необходимо составить три независимых уравнения. Порядок определения L1 и С аналогичен порядку определения этих элементов для Г-образного ФНЧ. Из семейства кривых Рис.2.12 выбираем кривую, которая удовлетворяет требованиям ТЗ. В данном случае выбираем кривую которая построена при Q2=1. После этого определяем значение приведенной частоты 2, на которой Н(2)=Н1. Для этого решаем следующее уравнение: в результате получим таблицу 2.2. Таблица 2.2. |
Н1 | 0,707 | 0,6 | 0,5 | 0,4 | 0,3 | 0,2 | 0,1 | | 2 | 1,5036 | 1,615 | 1,730 | 1,867 | 2,049 | 2,327 | 2,890 | | |
Далее, как и для Г-образного ФНЧ, можем записать два уравнения для определения L1 и С: Совместное решение этих уравнений дает формулы для определения L1 и С: Значение второй индуктивности L2 определяется из условия выбранного коэффициента асимметрии Пример 2.6. Спроектировать Т-образный ФНЧ, схема которого показана на Рис.2.11. Исходные данные: R=100 Ом - сопротивление нагрузки; f2=1000 Гц - верхняя граница полосы пропускания; H1=H(f2)=0,707 - значение передаточной функции по напряжению на верхней границе полосы пропускания. Передаточные функции H(f) и (f) в полосе пропускания не должны иметь всплесков и провалов. Решение. Из таблицы 2.2 по заданному значению H1=H(f2)=0,707 при Q=1 выбираем значение приведенной частоты 2=1,5036. Потребные значения индуктивностей и емкости определяем по (2.28), (2.29). Расчет передаточной функции по мощности проведем по формуле (1.10), ФЧХ - по формуле (1.8) с учетом (2.26). Результаты расчетов представлены на Рис.2.14, Рис.2.14а. Из этого рисунка видно, что потребные значения индуктивностей и емкости для построения несимметричного Т-образного ФНЧ составляют: L1=24мГн, L2=11 мГн, C=2,389 мкФ. Передаточные функции на верхней границе полосы пропускания принимают значения: Н(f2)=0,707, (f2)=0,5, что и требовалось по техническому заданию. Коэффициент прямоугольности передаточной функции по мощности составляет П=0,905.
Страницы: 1, 2
|