Анализ случайных процессов в линейных системах радиоэлектронных следящих систем
Анализ случайных процессов в линейных системах радиоэлектронных следящих систем
16 БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ Кафедра РТС РЕФЕРАТ На тему: "Анализ случайных процессов в линейных системах радиоэлектронных следящих систем" МИНСК, 2008 Определение статистических характеристик случайных процессов в линейных системах Задающее воздействие и внутренние возмущения (флуктуации частоты, фазы, задержки) являются случайными процессами с нормальным законом распределения, который не изменяется при прохождении процессов через линейные цепи. Флюктуационная составляющая напряжения на выходе дискриминатора (t) также процесс случайный, и хотя не всегда имеет нормальный закон распределения, но при прохождении через последующие узкополосные линейные цепи нормализуется. Случайный процесс с нормальным законом распределения определяется математическим ожиданием и корреляционной функцией. Методы определения математического ожидания рассмотрены в предыдущем разделе. Рассмотрим методы определения корреляционной функции и связанной с ней дисперсией случайных процессов. Спектральная плотность процесса на выходе и входе линейной системы связаны зависимостью ,где - частотная передаточная функция системы; - спектральная плотность процесса на входе. Преобразовав по Фурье правую и левую часть можно определить корреляционную функцию: . Дисперсия случайного процесса на выходе линейной системы: (1) или: , (2) где Sv(w) -двусторонняя спектральная плотность процесса на выходе системы. При использовании односторонней спектральной плотности N(f) выражение (2) может быть записано в виде: ,где ; . Расчет дисперсии случайного процесса с помощью стандартных интеграловДля упрощения вычисления интеграла (6.1) его приводят к стандартному виду: ,где - полином четной степени частоты; - полином, корни которого принадлежат верхней полуплоскости комплексной переменной; n - степень полинома. Вычисление производят по формулам: ; ; . При n>3 формулы для расчетов можно найти в справочнике. Условие применения стандартных интегралов: полином под интегралом должен быть дробно-рациональной функцией переменной и система должна быть устойчивой. Рассмотрим пример расчета дисперсии ошибки слежения в системе, представленной структурной схемой (рис.1). Рис.1. К примеру расчета дисперсии ошибки слежения.Исходные данные: - флюктуационная составляющая, определяемая спектральной плотностью . Рассчитаем дисперсию ошибки слежения по формуле дисперсию по формуле: . Передаточная функция от воздействия к ошибке; ; .Выполним расчет: ; ; ; ; ; ; ; ; ; . (3) Приведем ко входу дискриминатора и упростим выражение (3) , (4) где ; - спектр приведенного ко входу дискриминатора случайного процесса. Таким образом, дисперсия ошибки слежения пропорциональна коэффициенту усиления разомкнутого контура следящей системы и спектральной плотности флюктуационной составляющей. Если вместо пропорционально-интегрирующего фильтра использовать интегратор, то: , и; Если на вход инерционного звена с передаточной функциейподать шум со спектральной плотностью , то дисперсия на выходе будет равна; Таким образом шум вызывает одинаковый эффект на выходе инерционной цепи и в следящих системах, содержащих одно интегрирующее звено с добротностью, обратной постоянной времени . Если следящая система содержит в качестве фильтра последовательное соединение инерционного звена и интегратора, то в этом случае; ; ; .Следовательно, постоянная времени инерционного звена не влияет на величину флюктуационной ошибки (дисперсию). Это объясняется тем, что при увеличении инерционного звена сужается полоса системы, но одновременно увеличивается максимум АЧХ, а площади под кривыми не изменяются (рис.2). Рис.2. Зависимость АЧХ от постоянной времени инерционного звена.Используя (4) можно оптимизировать параметры системы, в частности по критерию минимума флюктуационной ошибки. С этой целью продифференцируем (6.4) по и приравняем производную нулю. ; ; ; ; ; при ; ; Подставив в (4), получим,где - собственная частота следящей системы. Если задающее воздействие представлено спектральной плотностью неточность его воспроизведения также оценивается дисперсией. Рассмотрим пример (рис.3). Рис.3Пусть ; , где - дисперсия задающего воздействия; - параметр, определяющий ширину спектра. Определим величину дисперсии ошибки слежения , обусловленную неточностью воспроизведения задающего воздействия. ; ,где; - коэффициент передачи интегратора; - крутизна дискриминационной характеристики. ; ;приведем выражение к стандартному виду: ; (jw) =( +jw) (Kv+jw) =(jw) 2 +(+Kv) jw+ Kv; ; ; ; ; ; ; ; ;При увеличении уменьшается, в то время как в первом примере увеличивается. Эквивалентная шумовая полоса следящих системПод эквивалентной шумовой полосой следящей системы понимают полосу пропускания эквивалентной системы, имеющей прямоугольную АЧХ, одинаковое с исходной системой ее значение на нулевой частоте и одинаковую дисперсию на выходе при воздействии на входы систем белого шума (рис.4). Рис.4. АЧХ исходной и эквивалентной систем.Чтобы определить полосу пропускания используем условие равенства дисперсий: Отсюда. Использование значения эквивалентной шумовой полосы позволяет упростить вычисление дисперсии: ; . Если , то , или , где - односторонняя спектральная плотность. Формулы для расчета эквивалентной шумовой полосы систем приведены в табл.1 Таблица 1. Формулы для расчета эквивалентной шумовой полосы.Оптимизация параметров следящих системДля решения задачи оптимизации необходимо определить структуру системы, предъявляемые требования и ограничения, накладываемые на систему, описать воздействия и возмущения, выбрать критерий оптимизации и метод. Оптимизируем параметры kи2 и T1 в системе (рис.5), в которой задающее воздействие л(t) - детерминированная функция, а возмущение - случайный процесс о(t). В качестве критерия оптимизации используем критерий минимума среднего квадрата ошибки: ; (5) где - квадрат математического ожидания ошибки слежения. Рис.5. Структурная схема оптимизируемой системы.Исходные данные: ; . Необходимо определить и по критерию (5). Величина математического ожидания (динамической ошибки) определяется выражением. Величина дисперсии ошибки: . (6) Для определения оптимальных значений параметров воспользуемся методом дифференцирования: . Из этого уравнения определяем. (7) Подставив в исходное уравнение (6) вместо T1 его оптимальное значение (7) и продифференцировав по переменной kи2, найдем ее оптимальное значение. Пусть задающее воздействие является случайным процессом с нулевым математическим ожиданием и спектральной плотностью Флюктуационная составляющая характеризуется спектральной плотностью . В качестве фильтра используется идеальный интегратор: . Найдем оптимальное значение коэффициента передачи интегратора по критерию минимума суммарной ошибки слежения: ,где - величина дисперсии ошибки, обусловленная неточным воспроизведением входного воздействия; - величина дисперсии ошибки обусловленная воздействием флюктуационной составляющей. . (8) Продифференцируем (8) по и приравняем производную нулю. В результате получим. Память следящих системРадиотехнические системы работают в условиях многолучевого распространения радиоволн, поэтому при приеме сигнала наблюдается эффект замирания сигнала. Попадание на вход приемника мощной широкополосной помехи приводит к смещению рабочей точки характеристики активного элемента на нелинейный участок характеристики и в результате - к подавлению полезного сигнала мощной помехой. Сигнал на входе следящей системы пропадает, что эквивалентно размыканию контура. На структурной схеме (Рис.6) это явление можно отобразить введением двух ключей Кл1 и Кл2. Пропадание сигнала приводит к размыканию ключа Кл1 и переводу ключа Кл2 в положение 2, поскольку меняется характер флюктуаций. Рис.6. Структурная схема следящей системы с учетом пропадания полезного сигнала на входе.Если в режиме слежения закон распределения ошибки нормальный с нулевым математическим ожиданием и в момент времени следящая система разомкнулась, то через время , характер распределения ошибки слежения изменится: увеличится математическое ожидание и дисперсия. Если в момент значение ошибки не выходит за пределы апертуры дискриминационной характеристики, то появление сигнала приведет к восстановлению режима слежения. Если же , то происходит срыв слежения. Вероятность того, что через после пропадания сигнала ошибка слежения не превышает определяет память следящей системы: . Рис.7. Распределение плотности вероятности ошибки слежения.Рис.8. Дискриминационная характеристика.Рассмотрим пример. Пусть следящая система имеет два интегратора (рис.9). Рис.9. Структурная схема системы.Задающее воздействие определяется линейной зависимостью; Поскольку система является астатической с астатизмом второго порядка установившееся значение ошибки равно нулю, т.е. . Следовательно, ; , а ,т.е. напряжение на входе второго интегратора пропорционально скорости изменения задающего воздействия . Таким образом, система отслеживает скорость изменения входного процесса не по рассогласованию а по памяти. При пропадании сигнала на вход система будет отслеживать его изменение, если скорость не изменятся. При восстановлении сигнала ошибка будет минимальной, или равной нулю (в реальной ситуации срыв может произойти в результате флюктуаций управляемой величины под воздействием помех). Память следящих систем определяется числом интегрирующих звеньев. Одно звено обеспечивает память по положению, два - по скорости, три - по ускорению. Таким образом, система с астатизмом n -го порядка обладает памятью по n-1 производной задающего воздействия. ЛИТЕРАТУРА1. Коновалов. Г.Ф. Радиоавтоматика: Учебник для вузов. - М.: Высш. шк., 2000. 2. Радиоавтоматика: Учеб. пособие для вузов. / Под ред.В.А. Бесекерского. - М.: Высш. шк., 2005. 3. . Первачев С. В. Радиоавтоматика: Учебник для вузов. - М.: Радио и связь, 2002. 4. Цифровые системы фазовой синхронизации / Под ред. М.И. Жодзишского - М.: Радио, 2000
|
|