Контрольная: Электромагнитные поля и волны

связаны между собой соотношением

или . Расстояние

между точками О и В обозначим

. Фазовая скорость волны равна

, тогда . Учитывая

соотношения для и

и формулы и

, можно записать уравнение колебаний точки В в разных видах:

.

Аналогично уравнению колебаний точки В запишем уравнение колебаний любой

точки среды, расположенной на расстоянии y от источника колебаний:

,

где - волновое число (см. определение выше).

Это уравнение и есть уравнение для смещения

любой точки пространства в любой момент времени, т.е. уравнение бегущей волны,

где А – амплитуда, величина

- фаза волны, которая в отличии от фазы колебаний зависит и от времени «t», и

от расстояния «y» колеблющейся точки от источника колебаний.

Вернемся к разделению волн по форме фронта волны и к понятию луча, как

направления распространения колебательного процесса. Учтем, что в изотропной

среде лучи перпендикулярны фронту и имеют вид прямых линий. Тогда уравнение

бегущей волны, полученное выше, есть уравнение плоской бегущей волны,

т.е. когда фронт волны – плоскость.

Уравнение плоской отраженной волны в одномерном пространстве легко

получить, если представить ее как бегущую волну в отрицательном направлении

оси ОУ, что приведет к замене в уравнении бегущей волны координаты «y» на «-y»:

.

Упругая волна называется синусоидальной или гармонической, если

соответствующие ей колебания частиц среды являются гармоническими. Так,

рассмотренные выше бегущая и отраженная волны являются гармоническими волнами.

6. Волновое уравнение.

Когда мы рассматривали колебания, то для любой колебательной системы получали

дифференциальное уравнение, для которого соответствующее уравнение колебаний

являлось решением. Аналогично уравнение бегущей и отраженной волны являются

решениями дифференциального уравнения второго порядка в частных производных,

называемого волновым уравнением и имеющего вид:

,

где - фазовая скорость волны.

Уравнения бегущей и отраженной волн и волновое уравнение представлены для случая

одного измерения, т.е. распространения волны вдоль оси ОУ. В волновое уравнение

входят вторые частные производные по времени и координате от смещения

потому, что есть

функция двух переменных t и y.

7. Скорость и ускорение колеблющейся точки. Относительное смещение точек среды.

Если смещение любой точки среды с координатой y в момент времени t задано

уравнением:

,

то скорость этой точки есть величина , а ускорение - :

,

§ 1.3. Энергия упругих волн.

В среде распространяется плоская упругая волна и переносит энергию, величина

которой в объеме

равна:

,

где - объемная плотность среды.

Если выбранный объем записать как

, где S – площадь его поперечного сечения, а

- его длина, то среднее количество энергии, переносимое волной за единицу

времени через поперечное сечение S, называется потоком

через его поверхность:

.

Количество энергии, переносимое волной за единицу времени через единицу площади

поверхности, расположенной перпендикулярно направлению распространения волны,

называется плотностью потока энергии волны.

Эта величина определяется соотношением:

,

где -объемная

плотность энергии волны,

- фазовая скорость волны. Так как фазовая скорость волны

- вектор, направление которого совпадает с направлением распространения волны,

то можно величине плотности потока энергии I придать смысл векторной величины:

.

Величина ,

вектор плотности энергии волны, впервые была введена Н.А. Умовым в 1984 году

и получила название вектора Умова. Подобная величина для

электромагнитных волн называется вектором Умова - Пойнтинга.

Интенсивностью волны называется модуль среднего значения вектора Умова .

§ 1.4. Принцип суперпозиции волн. Групповая скорость.

Принцип суперпозиции (наложения) волн установлен на опыте. Он состоит в

том, что в линейной среде волны от разных источников распространяются

независимо, и накладываясь, не изменяют друг друга. Результирующее смещение

частицы среды в любой момент времени равно геометрической сумме смещений

, которые частица получит, участвуя в каждом из слагаемых волновых процессов.

Согласно принципу суперпозиции накладываться друг на друга без взаимного

искажения могут волны любой формы. В результате наложения волн результирующее

колебание каждой частицы среды может происходить по любому сложному закону.

Такое образование волн называется волновым пакетом. Скорость движения волнового

пакета не совпадает со скоростью ни с одной из слагаемых волн. В этом случае

говорят о скорости

волнового пакета. Скорость перемещения максимума группы волн (волнового пакета)

называется групповой скоростью. Она равна скорости переноса энергии

волнового пакета.

На практике мы всегда имеем дело с группой волн, так как синусоидальных волн,

бесконечных в пространстве и во времени, не существует. Любая ограниченная во

времени и пространстве синусоидальная волна есть волновой пакет (его называют

цуг волны). Групповая скорость такого пакета совпадает с фазовой скоростью

бесконечных синусоидальных волн, результатом сложения которых он является.

В общем виде связь между групповой и фазовой скоростями имеет вид:

.

§ 1.5. Интерференция волн. Стоячие волны.

1. Интерференцией волн называется явление наложение двух и более волн,

при котором в зависимости от соотношения между фазами этих волн происходит

устойчивое во времени их взаимное усиление в одних точках пространства и

ослабление в других.

В пространстве всегда найдутся такие точки, в которых разность фаз складываемых

колебаний равна величине

, где k – целое число, т.е. волны (от разных источников) приходят в такие точки

в фазе. В них будет наблюдаться устойчивое, неизменно продолжающееся все

время усиление колебаний частиц. Найдутся в пространстве, где

распространяется несколько волн, и такие точки, где разность фаз будет равна

, т.е. волны приходят в эти точки в противофазе. В таких

точках пространства будет наблюдаться устойчивое ослабление колебаний

частиц.

Устойчивая интерференционная картина возникает только при наложении таких волн,

которые имеют одинаковую частоту, постоянную во времени разность фаз в каждой

точке пространства. Волны, удовлетворяющие этим условиям и источники, создающие

такие волны, называются когерентными. Плоские синусоидальные волны,

частоты которых одинаковы, когерентны всегда.

2. Запишем условия максимумов и минимумов при интерференции. Когерентные

точечные источники

и испускают волны по

всем направлениям. До точки наблюдения М расстояние от первого источника

, а от второго - .

Колебания точки М под действием волн от двух источников

и описываются

уравнениями:

, .

Амплитуда результирующего колебания в точке М определится следующим образом

(см. раздел «Сложение колебаний»):

.

Амплитуда колебаний точки М максимальна (), если

, где

Величина называется разностью хода двух волн.

Условие максимума при интерференции имеет вид:

.

Страницы: 1, 2, 3