Теоретическая механика (лекции)

либо др.центра приведения сист.сил уже не будет приводиться к

равнодействующей.

Б) LO(0 R(0, LO( R.

Покажем, что в этом случае сист.сил приводится к равнодействующей.

R=R’=R*

{R, LO }({ R=R’=R*}({R*}

LO=Rd

{R, R’}(0

В этом случае сист.приводится к равнодействующей, кот.лежит на растоянии d

от линии дей-я силы R , определяемое по ф-ле: d=Lo/R

3)Система сил приводится к Динамо. Это когда гл.вектор и гл.момент лежат на

одной прямой.

Случай, когда сист.сил приводится к Динамо

LO(0 R(0, причем LO не( R.

LO1=LOcos(;

LO2=LOsin(; d=LO2/R

Уравнение динамической оси.

LО1x/Rx= LО1y/Ry= LО1z/Rz-ур-е прямой в простанств.сист.координат

LО1= LО +[O1O (R]

LО1= LО +[OO1 (R’]

[LОx+(y Rz -z Rx]/ Rx=[LОy+(z Rx -x Rz]/ Ry=[LОz+(x Ry -y Rx]/ Rz

–уравнение динамической линии(ур-е прямой на которой выполняется динамо)

[LОx+(y Rz -z Ry]/ Rx=[LОy+(-x Rz +z Rx]/ Ry=[LОz+(x Ry -y Rx]/ Rz

i j k

x y z

Rx Ry Rz

[LОx -(y Rz’ -z Ry’]/ Rx=[LОy -(z Rx’ -x Rz’]/ Ry=[LОz -(x Ry’ -y Rx’]/ Rz

Равнодействующая 2-х параллельных сил,направл-х в одну сторону

R*=F1+F2

F1/F2 =а/в, F1(а= F2(в

МR*(F1)=- МR*(F2); LO-гл.момент

При пирведении сист.сил к какому-либо центру у нас появляется гл.вектор =

сумме всех сил и гл.момент = сумме моментов всех сил отн-но того же центра.

Поэтому равнодействующая 2-х параллельных сил, напр-х в одну сторону

(лежит) и проходит между этими силами, по вел-не равна сумме этих сил и

приложена в точке, которая делит растояние между этими силами на части

обратно пропорциональные силам.

Равнодействующая 2-х параллельныхсил, напр-х в разные стороны

F2( F1 , R*= F2- F1, F1/F2 = а/в, F1/а= F2/в=( F2- F) /в-а, F1(в= F2(а, Мс

(F2)= Мс(F1);

Равнод-я 2-х парал-х сил, напр-х в разные стороны, лежит за линией действия

большей силы, равна по модулю разности двух этих сил и приложена в точке,

которая делит растояние между этими силами на части, обратно

пропорциональные силам внешним образом.

Очень важно, что силы не равны между собой.

Центр параллельных сил.

Т.С –центр парал-х сил.

R*=l(Fi,

На основании теоремы Вариньона запишем: момент равнодействующей

относит.какого-либо центра равен сумме моментов всех сил относит.того же

центра

Мо (R*)= (Мо Fк,

[rc(R*]= ([rк (Fк]

[rc(((Fi)l] - ([rк (Fкl]=0

[((Firc - (Fkrk) (l]=0

Т.к. вектор l отличен от 0, то из этого соотношения следует, поскольку

вектор l выбирают произвольно, то rc(Fк- (Fkrk=0 ( rc=((Fkrk)/ (Fк формула

нахождения центра тяжести.

Нахождение центров тяжести

rc=((Рkrk)/ (Рк –ф-ла нах-я ц.т.

Р1=m1g; Pk=mkg; Pn=mng.

rc=((mkrk)/ M–ф-ла нах-я ц.т.

M=(mk

xc=((mkxk)/ M; yc=((mkyk)/ M; zc=((mkzk)/ M

Для сплошного однородного тела имеем след.ф-лу для нах-я центра масс.

xc=((х dV)/V; yc=((у dV)/V; zc=((z dV)/V; V=(dV

Для тел, масса кот-х распределена по пов-ти небольшой толщины имеем след-е

ф-лы:

xc=((х ds)/S; yc=((у ds)/S; zc=((z ds)/S; S=(ds

Для тел, масса кот-х распределена по длине (типа проволоки):

xc=((х dl)/L; yc=((у dl)/L; zc=((z dl)/L; L=(dl

Свойства центров масс

Если тело имеет ось симметрии, плоскость симметрии, то центр масс

обязательно располагается на них.

Метод отрицательных масс.

S1-вся площадь

S2- площадь выреза

С –центр масс тела без выреза площади S2

xc=[(S1-S2)xc*+ S2xc2]/S1

xc*= (xc S1- xc2 S2)/( S1- S2)

c*-центр масс тела с вырезом

Из этой ф-лы следует, что если надо опр-ть центр масс тела, у кот-х есть

вырез, то надо считать, что в вырезе сосредоточена отрицательная масса.

Цент тяжести некоторых простейших тел.

Разбиение на (

ВД-медиана

ВС*/С*Д=2/1

Центр тяжести в точке пересечения медиан.

Центр тяжести дуги.

Ус=0, хс=(хdl/L

L=2(r

х=rcos(; dl=rd(;

хc=(1/2(r) (r2cos( d( =(r/2()sin( (= (r/2()2sin(= (r sin()/(;

Ц.т.кругового сектора

хс=(2/3) (r sin()/();

Ц.т.кругового сегмента

хс=[S2xc2 – S1xc1]/(S2 – S1)

S2=( r2

S1=(1/2)r2 sin 2(

2( - ( r2, 2( - x, x=(2(/2()( r2,

xc={[(( r2)(2/3)r (sin (/()]-[(1/2) r2 sin 2(][(2/3) rcos(]} /[(( r2)-

[(1/2) r2 sin 2(]

=(2/3)r[sin3( /(2(- sin2(]

Кинематика

Это раздел механики, в котором изучается движение материальной точки,

твердых тел, механических систем, без учета сил, вызывающих это движение

Кинематика точки

Сущ-ет 3 способа задания дв-я точки: векторный, координатный, естественный.

При векторном способе задания точки откладываются векторы из одной точки.

Задается r, как ф-ция от времени r=r(t)

Кривая, которую вычерчивает конец вектора, отложенный из одной общей точки

наз-ся гадографом.

Гадограф радиуса вектора точки – это траектория точки.

V=lim((r/(t)=dr/dt –скорость

Отсюда вывод-скорость направлена по касательной к траектории точки.

W= lim((v/(t)=dv/dt – ускорение

При коорд.способе задания точки берем коорд.сетку: оси x, y, z

x=f1(t)

y= f2(t)

z= f3(t)

Vx=x=d f1/(t Wx=x=

Vy=y=d f2/(t Wy=y=

Vz=z=d f3/(t Wz=z=

V=(Vx2 + Vy2 + Vz2

W=(Wx2 + Wy2 + Wz2

cos(V,x)= Vx/V

cos(V,y)= Vy/V

cos(V,z)= Vz/V

Естественный способ задания дв-я точки.

При естеств.способе задания дв-я точки д.б.задано: 1)траектория дв-я точки,

2)начало отсчета на траектории, 3)положительное и отрицательное направление

отсчета, 4)дуговая абсцисса д.б.задана как ф-ция от времени S=f(t)

Введем единичный орт касательный (. Вектор ( направлен в сторону

возрастания дуговой абсциссы, модуль (((=1

Вектор скорости V опр-ся: V=s (.

Если s>0, то скорость направлена в сторону возрастания дуговой абсциссы по

вектору (, а если s0 и противоположно вектору ( если s0, и оно всегда направлено

внутрь области кривой в каждой ее точке.

Если точка движется по прямой, то норм.ускорение точки =0.

Пусть точка движется по окружности с пост.по величине скоростью, чему равно

ускорение точки?

V=const

W( =dv/dt=0

Wn =v2/R

Любую кривую можно представлять в виде совокупности дуг различного радиуса.

Связь между естеств.и коорд.способами задания дв-я.

Ds=(x2+y2+z2 dt

S=((x2+y2+z2 dt

W(=dv/dt=d((x2+y2+z2)/dt=[VxWx+VyWy+VzWz]/V/

x=f1(t)

y= f2(t)

z= f3(t)

t=(1(x) –цилиндр.пов-ть образ.параллель.оси у

y=f2((1(x)) - цилиндр.пов-ть образ.кот параллель.оси z.

z=f3((1(x))

Частный случай дв-я точки

1.Равномерное дв-е

v=const, S=So+vt

2.равноускоренное дв-е

W( =const, V=Vo+ W( t, S=Vot+ W( (t2/2)

V2 –Vo2=2 W(S

dV/dt= W(,

(dV=( W( dt, V –Vo= W(t

Кинематика твердого тела

В теор.механике рассм.только тверд.тела

Абс.тв.тела-это такие тела, раст.между двумя любыми точками не меняются за

все время движения

Поступательное дв-е твердого тела

Поступательн.дв-ем тв.тела наз-ся такое дв-е

Тела, при кот.любая прямая, проведенная в нем остается параллельной самой

себе за все время дв-я (самолет, летящий прямолинейно, дв-е поршня в

двигателе автомоб., дв-е колеса обозрения)

Теорема: При поступ.движении тв.тела траектории дв-я всех точек тела

конгруэнтны, а скорость и ускорение равны.

rв= rА+АВ

Поскольку это вып-ся в люб.момент времени, то получается, что траектория

т.В можно определить смещением вектора АВ в каждой точке из траектории т.А

возм.произв.по времени (АВ=const)

drв/dt= drA/dt+d(AB)/dt

VB=VA. WB=WA.

Вращат.дв-е твердого тела.

Вращат.наз-ся такое дв-е тв.тела, при кот-м хотя бы 2 точки тела остаются

неподвижными за все время вращенияя, через эти 2 точки проходит ось

вращения, все остальные точки движутся по окружностям в плоскостях

перпендик-х оси вращения.

Фермы

Начинаем искать усилия стержней, рассматривая узлы.

Метод Риттера(проверка)

При нахождении усилий стержней плоской фермы методом выфрезания узлов

полезно знать:

1)если в незагруженном узле плоск.фермы сходятся 2 стержня. То усилие в

этих стержнях =0

2)если в незагруженном узле плоск.фермы сходятся 3 стержня, из кот-х 2

расоложены на одной прямой, то усилие в 3-м стержне =0, а усилие в первых 2-

х равны между собой.

Вращат.дв-е-это такое дв-е, при кот-м ось остается неподвижной, а все

др..тела движутся в плоскости перпендикулярной оси вращения.

Введем угол поворота ( -как угол между неподв.пл-тью и плоскостью,

связанной с телом

[(]=рад

(=2(n

[N]- число оборотов

Угловая скорость (=d(/dt, [((]=рад/c=c-1

(=f(t)

Вектор угл.скорости ( лежит на оси вращения и направлен в сторону, что с

конца этого вектора вращение кажется видимым против часовой стрелки.

Угловое ускорение ( опр-ся по ф-ле:

(=dW/dt=d2(/dt2, [(]= рад/c2=c-2.

Вектор углового ускорения ( также лежит на оси вращения и направлен по

вектору (, если вращение ускорено и противоположен ему, если вращение

замедлено.

[n]-число оборотов в мин.=об/мин, тогда (=(n/30/

Частный случай вращат.дв-я:

1)равномерное вращение.. (=(t

2)равнопеременное вращение: (=const. (=(о t+(t2/2;

(=(о+(t

d(/dt=(

d(=( dt

( d(=(( dt

(-(о=(( dt

(2 -(о2 =2((

d(/dt=(о+(t

( d(=((оdt+((tdt

(-(o=(о(dt+((tdt

(-(o=( оt+((t2/2)

Определение линейной скорости и лин.ускорения при вращат.движении твердого

тела

S=h(

ds/dt=h(d(/dt)

V=h(, dv/dt=h(d(/dt)

W(=h(

Wn=v2/h=((2h2)/h=(2h

Полное ускорение W=( Wn2+ W(2=h((2+(2

tg(=(W((/ Wn=(((/(2

Вывод: при вращ.дв-ии тв.тела линейная скорость касательная нормальной и

полное ускорение пропорциональны растоянию точки от оси вращения.

Векторные ф-лы для опр-я скорости и ускорения при вращат.движении.

v=[((r]-ф-ла Эйлера

v=((r(sin((,r)

v=((h

W(=[((r], W(=((r(sin[((r]=h(,

Wn=[([(( r]]=[ ((v]

Wn=((v( sin(((v)= ((v=(2h

Производ.от вектора пост.по модулю под скалярным аргументом

(в(=const=в

dв/dt, (вв)=в2, 2[в(dв/dt)]=0 ( dв/dt (в.

(dв/dt(=(dв(/dt=в(d(/dt)=( в.

dв/dt=[( в]

Производная от времени, причем (в(=const, равна векторному произведению

угловой скорости вращения этого вектора на сам этот вектор.

d?/dt= (d? ds)/(ds dt)= (d?/d?)( d?/dt)

(d?/d?(=1

d?/dt=( n

d?/dt=[(?]

Теорема о проекциях скоростей

При любом движении твердого тела проекция скоростей 2-х точек этого тела на

прямую их соединяющих равны.

VAcos?= VBcos?

Поскольку точки выбираем произвольно, то проекции скоростей любой точки

прямой на эту прямую равны.

rв=rA+AB

rв-rA=AB

(rв-rA)2=(AB)2=R2=const (l=|AB|)

2(rв-rA)[(d rв/dt)- (d rA/dt)]=0

(VB-VA)AB=0, AB= VA AB

VBcos? AB= VAcos? AB

VBcos? = VAcos? –смысл этой теоремы заключ.в том, что рассм.дв-е

абсол.тв.тела, мы не можем допустить, чтобы т.А доганяла т.В или чтобы т.А

отставала от т.В.

Мгновенный центр ускорений

?=arctg(?/?2)

WQ=0

WA?= ?AQ, WAn= ?2 AQ,

WA=?( WA?)2+( WAn)2= AQ??2+ ?2

tg?= WA?/ WAn= ?/ ?2

Частный случай:

1)?=0, тогда ?=0

2)?=0, тогда ?=?/2 (дв-е мгновенно поступательное)

Сложное дв-е точки.

Сложным наз-ся токое дв-е точки, при котором сущ-ет относительное дв-е

точки(это дв-е отн-но подвижной сист.координат) и переносное движение (это

дв-е точки в момент в подвижной сист.коор-т отн-но неподвижной). Причем в

принципе подв.сист.коор-т м.б.одно, а переносных много.

Определение скорости точки в сложном движении.

?м=?о+r

Ф-ла Бура Производная от вектора относит.неподвижной сист.координат

r=xi+yj+zk

dr/dt=(dx/dt)/i+(dy/dt)j+(dz/dt)k+ x(di/dt)+y(dj/dt)+z(dk/dt)

di/dt=[?i], dj/dt=[?j], dk/dt=[?k],

dr/dt=ґdr/dt+[?r], где ґdr/dt=(dx/dt)/i+(dy/dt)j+(dz/dt)k

причем dr/dt это частная локальная производная или производная от вектора r

отн-но подвиж.системы координат.

Ф-ла Бура: производная от вектора отн-но неподв.системы коор-т, которая

изменяется отн-но подвижной системы коор-т складывается из частной

(локальной) производной плюс векторное произведение угловой скорости

вращения подвижной сист.коор-т на этот вектор.

Частный случай ф-лы Бура: 1)Если ?=0 (подв.сист.коор-т движ-ся

поступательно), то полная производная = частной, т.е. dr/dt=ґdr/dt,

2)Если вектор r не изменяется относительно подвижной сист.коорд., т.е.

ґdr/dt=0, то тогда dr/dt=[?r] (производ.от вектора пост.по Н)

3)Пусть полная произв.от r по времени =0, т.е. dr/dt=0, тогда ‘dr/dt+

[?r]=0,

ґdr/dt+ [?r]=0, ґdr/dt= - [?r]

Пусть r=?, тогда получим d?/dt=ґd?/dt= ?

Производная от вектора ? по времени не зависит от того, относительно какой

сист.ккор-т мы берем.

d?м/dt= d?o/dt+dr/dt/

VM=VO+[ ?r]+ ґdr/dt

VM=VL+ Vr

VL- переносная скорость (скор.точки в морож.в неподв.сист.коор-т отн-но

подвижной)

Vr- относительная скорость(скор.точкт отн-но неподв.сист.коор-т)

Абсолютная скорость точки при сложном движении складывается из векторной

суммы переносной и относительной скоростей

Опр-е ускорения точки в сложном движении

VM=VO+[ ?r]+ Vr

WM=d VM/dt=(d VO/dt)+[ ?r]+[ ?(dr/dt)]+d Vr/dt

dr/dt=[ ?r]+ Vr

WM=Wo+[ ?r]+ [?[?r]]+[ ? Vr]+ [ ?Vr]+Wr

d Vr/dt=[ ? Vr]+ Wr

Wk=2[? Vr]

WM=WL+Wr+WK – кинематическая теорема Кариолиса

Абсолютное ускорение точки –это есть сумма переносного ускорения,

относительного ускорения и ускорения Кариолиса

Переносное ускорение хар-ет измен-е переносной скорости в переносном

движении.

Относительное ускорение хар-ет изм-е относительной скоростив в

относительном движении. Ускорение Кариолиса хар-ет изм-е относительной

скорости в переносном движении

Ускорение Кариолиса.

Согласно правилу векторного произведения, вектор ускорения Кариолиса + пл-

ти, в кот-й лежат вектора ? и Vr и направлена в ту сторону,что с конца

этого вектора кратчайшее совмещение первого вектора ко второму ? к Vr

кажется видным против хода часовой стрелки.

Методы нахождения мгновенных центров скоростей

Суть (классич.метод закл-ся в след.): Мгновенный центр скоростей нах-ся на

пересечении перпендикуляров к скоростям в 2-х точках тела.

? = VА/АР= VВ/ВР= VС/СР

Если скорости 2-х точек | |-ны не равны др.другу, а прямая их соединяющая (-

на, то тогда:

? = VА/АР= VВ/ВР= VС/СР

Пусть скорости | |-ны, направлены в разные стороны, а прямая их соединяющая

им (-на.

? = VА/АР= VВ/ВР

Пусть скорости 2-х точек тела| |-ны , направлены в одну сторону, а прямая

их соединяющая не (-на, то имеем: (в этом случае мгновенный центр скоростей

нах-ся в бесконечности, ? =0, тело совершает мгновенно поступательное

движение) VА = VВ= VС=…

Примером явл-ся кривошипно-шатунный механизм. ?АВ =0

Способ нахождения опред-я мгн.скоростей из механич.соображений

?колеса= VД/ДР= VВ/ВР= VА/АР

Поскольку мгн.центр скоростей –это понятие геометрическое, то может

оказаться, что он нах-ся вне пределов тела.

Определение ускорения при плоскопараллельном движени.

VВ=VА+[ ? АВ]

dVВ /dt= dVА /dt+[ ? АВ]+ [? (d АВ/dt) ]

WВ= WА +WВА(+ WВАn

WВАn=[?[?AB]]= [?VBА]

WВА(=? AB; WВА(= ?2AB

При плоско параллельн.движении ускорение любой точки складывается из

ускорения полюса плюс касательная к нормальной составляющей при вращении

точки относительно полюса.

Сферическое дв-е тв.тела.

Сферическим наз-ся такое дв-е, при коротом это тело имеет только одну

неподвижную точку. Все остальные точки тела располагаются на сферах разного

радиуса. Н-р!гороскоп.

Сферич.тело имеет 3 степени свободы, n=3N-k, где n-число степеней свободы,

N-число точек, к-число связей. n =6-для свободного тв.тела

Для тела, кот-е совершает сферич.дв-е достаточно 3 коор-ты, поскольку оно

имеет 3 степени свободы.

х1, y1, z1-неподв.сист.коор-т

х, y, z-подв.сист.коор-т

ок-линия узлов-это прямая, по которой пересекаются плоскости х1оу1 и хоу

(-угол прецессии(между х1 и ок)

(-угол нутации(между z1 и z)

(-угол собственного вращения(<(ok; ox))

(, (,(-углы Эллера.

(=((t)

(=((t)

(=((t)-будем иметь положение тела в пространстве(ккор-ты)

Страницы: 1, 2