Основные представления о специальной и общей теории относительности 
|vx + V |
|[pic] |
|1 - V vx/c2 |
|, vy' = |
|vy |
| |
|________ |
|?1 - V2/c2 |
| |
| |
| |
|[pic] |
|1 - V vx/c2 |
|, vz' = |
|vz |
| |
|________ |
|?1 - V2/c2 |
| |
| |
| |
|[pic] |
|1 - V vx/c2 |
|. |
| |
2.5 Собственное время, события и мировые линии частиц
В качестве часов наблюдатели в системах S, S' могут использовать
любой периодический процесс, например, излучение атомов или молекул на
определенных фиксированных частотах. Время, отсчитываемое по часам,
движущимся вмемте с данным объектом, называется собственным временем этого
объекта. Для измерения длин можно взять некоторый эталон - линейку.
Собственной длиной линейки называется ее длина l0 в той системе, в которой
она покоится. Величина l0 равна модулю разности координат концов линейки в
один и тот же момент времени.
Совокупность декартовых координат [pic]= (x,y,z) и момента времени t
в некоторой инерциальной системе отсчета определяют событие. Событием
является, например, нахождение точечной частицы в момент времени t в точке
пространства, указанной вектором [pic].
Множество всех событий образуют "четырехмерный Мир Минковского".
Отдельные точки в четырехмерном пространстве указывают координаты и время
некоторого "события". Последовательность кинематических состояний любого
тела (его координаты в разные моменты времени) изображается мировой линией
(Рис. 7).
[pic]
Рис. 7
Если частицы движутся только вдоль оси 0x, то наглядно представить
"Мир Минковского" можно с помощью плоскости координат (с t, x). Время
удобно умножить на скорость света, чтобы обе координаты имели одинаковую
размерность. Это можно сделать, поскольку скорость света - универсальная
мировая константа.
[pic]
Рис. 8
Мировыми линиями (в отличие от траекторий классической механики)
обладают не только движущиеся, но и покоящиеся в данной инерциальной
системе отсчета тела. Так, мировая линия тела, покоящегося в начале
координат, будет совпадать с временной осью 0 ct, а тела, покоящегося в
пространственной точке xa - является прямой AB, параллельной оси времени.
Мировая линия тела, движущегося с постоянной скоростью V - (и при t = 0,
находящегося в точке x(0) = 0) - прямая CD; мировая линия светового луча,
испущенного из начала координат в напралении оси x - биссектриса
координатного угла OF; мировая линия тела, движущегося с переменной
скоростью v(t) - кривая MN (cм. Рис. 8а))
2.6 Геометрический смысл преобразований Лоренца
Выясним теперь геометрический смысл преобразований Лоренца. Еще раз
запишем его только для x и t в виде
|x' = ? (x - ? ct), ct' = ? (ct -|
|? x). |
| |
Это линейное однородное преобразование, очень похожее на
преобразование поворота на угол ? в плоскости XY:
|x' = x cos?+ y sin?, y' = - |
|x sin?+y cos?. |
| |
Новые оси x', y', получающиеся в результате поворота изображены на
Рис. 8 б).
Важнейшим свойством преобразования поворота является сохранение
расстояния между любыми двумя точками: r12 = r'12.
Здесь:
[pic]
Введем величину, зависящую от параметров двух событий { [(r1)\vec],t1
} и { [(r2)\vec],t2 } и определенную равенством
|s12 = [ c2 (t2 - t1)2 - (x2 - x1)2 - (y2 - |(15) |
|y1)2- (z2 - z1)2 ]1/2. | |
| | |
Она называется пространственно - временным интервалом.
Прямой подстановкой формул (12) можно проверить, что величина
пространственно - временного интервала между двумя событиями является
инвариантом преобразований Лоренца:
|s12' = s12. |(16) |
| | |
В двумерном случае [pic]можно рассматривать как "расстояние" между
точками плоскости ct, x. Но квадрат разности координат входит в s12 со
знаком "минус". Пространство, в котором расстояние между точками определено
формулой (15) называется псевдоевклидовым. Наряду с отмеченным сходством,
между евклидовым и псевдоевклидовым пространствами имеются принципиальные
различия. В евклидовом пространстве расстояние между любыми точками r212 ?
0, равенство нулю означает, что точки совпадают. В псевдоевклидовом
пространстве s212 может иметь любой знак, а его обращение в нуль возможно
для двух совершенно различных точек пространства - времени.
Найдем положение новых осей (x', ct') на псевдоевклидовой плоскости.
Отложим координата x, ct на прямоугольных осях. (Рис. 9). Точка x' = 0,
сопадающая с началом координат системы S', движется в системе S со
скоростью V. Ее мировая линия будет представлять собой ось времени ct'
системы S'. Эта ось будет наклонена к оси ct на угол ? = arctg (V/c). Ось
x' новой системы можно определить условием ct' = 0. Но тогда в старой
системе координат это будет прямая ct = ?x, проходящая через начало
координат и составляющая с осью x тот же угол ? = arctg (V/c).
Приходим к выводу, что новая система координат косоугольна! Если
попытаться найти связь между отрезками x', ct' и x, ct, посто проектируя
отрезки (так как это делается в эвклидовом случае), то получится
неправильный результат. Преобразования Лоренца не только поворачивают оси,
но и искажают масштабы координат по осям!
Итак, основной результат состоит в том, что преобразования Лоренца
можно интерпретировать, как псевдоевклидово вращение системы координат в
пространстве Минковского.
[pic]
Рис. 9
С помощью Рис. 9 можно дать геометрическую интерпретацию различным
следствиям из преобразований Лоренца. Вспомним, например, относительность
одновременности. В системе S линии равного времени - прямые параллельные
оси 0x. В системе S' - это прямые, параллельные 0x', не совпадающие с
линиями равного времени в системе S. Поэтому события, одновременные в S, не
будут в общем случае одновременными в S. Например, между одновременными в
системе S событиями A и B в системе S' пройдет промежуток времени ? t' =
|A'B'|/c, причем событие B произойдет раньше.
Как ясно из вышеизложенного, на псевдоевклидовой плоскости квадрат
интервала s212 может быть как положительным, так и равным нулю и
отрицательным.
Если s212 > 0, его называют времениподобным, при s212 < 0 -
пространственноподобным, при s212 = 0 - светоподобным или нулевым.
Характер интервала тесно связан c причинностью - он определяет
возможность причинной связи событий, происходящих в пространственно -
временных точках 1 и 2. Если s212 > 0, то из точки 1 можно послать сигнал
со скоростью [pic], который вызовет событие 2. В случае s212 = 0 это также
возможно, но сигнал должен посылаться с предельной скоростью c. События,
разделенные пространственноподобным интервалом, не могут быть причинно
обусловлены, т.к. сигналы не могут распространяться со скоростью [pic].
2.7 Замедление времени
Рассмотрим часы, покоящиеся в начале координат движущейся системы (x'
= 0), которые перемещаются относительно лабораторной системы координат со
скоростью V, так что их координата x = V t пропорциональна времени,
определяемому неподвижными часами. Инвариантность интервала позволяет,
тогда, определить показания движущихся часов:
|t' = t |(17) |
| | |
|________ | |
|?1 - V2/c2 | |
| | |
|. | |
| | |
Время, измеряемое часами, движущимися относительно лабораторной
системы отсчета, замедляется.
Как ни покажется странным, но тот же вывод справедлив относительно
замедления темпа хода часов в лабораторной системе координат с точки зрения
наблюдателя из движущейся системы отсчета, т.е. "движущиеся" и "покоящиеся"
часы взаимно отстают друг от друга.
С последним замечанием тесно связан широко известный парадокс
близнецов (см. ниже раздел "Задачи").
Замедление хода времени в движущейся системе отсчета было
экспериментально подтверждено американскими физиками Б. Росси и Д.Х. Холлом
в 1941 году. Они наблюдали увеличение среднего времени жизни мюонов,
двигавшихся со скоростью v ? c, в 6 ч8 раз по сравнению с временем жизни
неподвижных мюонов.
Особая ценность этого эксперимента состоит в том, что процесс распада
мюонов определяется слабым взаимодействием, в то время как СТО была
построена для описания систем с электромагнитным взаимодействием.
2.8 Лоренцево сокращение длины
Стержень, расположенный вдоль оси 0'X' движущейся системы отсчета и
покоящийся в ней, имеет длину l0. Если один из концов стержня (для
простоты) сосвпадает с началом координат этой системы, то в момент t = 0 по
часам лабораторной системы отсчета координаты концов стержня определяются
преобразованием Лоренца:
|x1 = 0, x2 = l = l0 |(18) |
| | |
| ________ | |
|?1 - V2/c2 | |
| | |
|. | |
| | |
Длина движущегося стержня в лабораторной системе отсчета уменьшается
в направлении движения. Это изменение длины называется сокращением Лоренца
- Фитцджеральда.
Поскольку поперечные размеры тела не изменяются, то легко видеть, что
объем тела также уменьшается:
|V = V0 |(19) |
| | |
| ________ | |
|?1 - V2/c2 | |
| | |
|. | |
| | |
3 Динамика специальной теории относительности
3.1 Энергия и импульс частицы
Под массой частицы m будем понимать ее массу, измеряемую в системе
покоя частицы - массу покоя.
Релятивистским импульсом частицы массы m, движущейся в выбранной
инерциальной системе отсчета со скоростью [pic], называется векторная
величина [pic], определяемая формулой
| |(20) |
|> | |
|p | |
| | |
|= | |
|m | |
|> | |
|v | |
| | |
| | |
| | |
|[pic] | |
| | |
| | |
| ________ | |
|?1 - (v/c)2 | |
| | |
| | |
| | |
| | |
|. | |
| | |
Релятивистский импульс имеет ту же размерность, что и импульс в
классической механике. При v/c > 0, [pic]> m [pic] (с точностью до
линейных по v/c слагаемых).
Энергией частицы в релятивистской физике называется величина E,
определяемая выражением
|E = |(21) |
|m c2 | |
|[pic] | |
| | |
| | |
| ________ | |
|?1 - (v/c)2 | |
| | |
| | |
| | |
| | |
|. | |
| | |
Энергия имеет ту же размерность и измеряется в тех же единицах, что и
энергия в ньютоновской механике.
Энергия частицы в той системе отсчета, в которой она покоится,
называется ее энергией покоя E0:
|E0 = |
|mc2. |
| |
При ? = v/c > 0 релятивистское выражение для энергии частицы может быть
записано в виде
|E = mc2 + |
|m v2 |
|[pic] |
|2 |
|= E0 + |
|m v2 |
|[pic] |
|2 |
|. |
| |
Второе слагаемое совпадает с кинетической энергией частицы в
классической теории. Разность E - mc2 = T называют кинетической энергией
релятивистской частицы.
Из формул (20) и (21) находим полезную формулу для скорости частицы:
| |(22) |
|> | |
|v | |
| | |
|= c2 | |
| | |
|> | |
|p | |
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5
|
